欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，八年级下学期数学期末考试中的一些压轴题型训练第五天，跟随我们的脚步，继续加油。
1.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、CF，连接BE并延长交CF于点G，下列结论：①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF，其中正确的个数是个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【思路分析】
①由题易证AF//DC，由SAS即可证明△ABE≌△ACF；
②由△CDE是等边三角形可得AB//DF，进而可得四边形ABDF是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出BC=DF；
③由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，由△CBE≌△DFC可得S△CBE=S△DFC，再运用等量代换即可证明结论；
【解题过程】
(1)∵CE=CD，∴∠EDC=∠CED，∵AF=AE，∴∠AFE=∠AEF，∵∠CED=∠AEF，∴∠EDC=∠AFE，∴AF//CD，∴∠FAC=∠ACD=60°，∴∠FAC=∠CAB=60°，∵AB=AC，AE=AF，∴△ABE≌△ACF，①正确；
(2)∵CD=CE，∠ACB=60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠EDC=60°，∴∠EDC=∠ABC=60°，∴DF//AB，∵AF//BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF，∴AB=BC，∴DF=BC，②正确；
(3)∵CB=DF，∠BCE=∠FDC=60°，CE=DC，∴△CBE≌△DFC，∴S△CBE=S△DFC，∵△ABE≌△ACF，∴S△ABE=S△ACF，∴S△ABC=S△ABE+S△CBE=S△ACF+S△DCF，③正确；故选D
2. 如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上，OA=3,OC=4,D为边OC的中点，E、F为边OA上的两个动点，且EF=2,当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为___________.
【思路分析】将军饮马问题的“平移+对称”题型，由于EF、BD的长是已知的，要求四边形BDEF的周长最小，即求DE+BF最小，将点B向左平移2个单位长度，由于EFBG是平行四边形，相当于将点F向左平移2个单位长度，F与E重合，这样，“四点”就转化成了“两定一动”的将军饮马问题最简单题型，DE+BF就转化成了DE+GE，此题变转化成了一道比较简单常见的“一动两定”题型，即可求解。
【解题过程】
∵由于BD、EF的长度是固定长，∴要求四边形BDEF的周长最小，只需DE+BF最短，由于DE、BF两条线段出现四个点，属于“对称+平移”题型。所以，作点D关于轴的对称点D`，在CB边上截取BG=2（即将点B向左平移2个单位长度，由于EFBG是平行四边形，相当于将点F向左平移2个单位长度，F与E重合，这样，“四点”就转化成了“两定一动”的将军饮马问题最简单题型，DE+BF就转化成了DE+GE，再通过对称，就能把G（B）、D（D`）、E（F）转化到同一条线段GD`上，此时DE+GE最短，即DE+BF最短），连接GD`，交轴于点E，在轴上截取线段EF=2，此时得到的点E、F能使四边形BDEF的周长最小.∵OD=OD`=2，CD`=6，BC=3，BG=2，CG=1，OE//CG，∴OE：CG=OD`：D`C，即OE：1=2：6，∴OE=1/3，∴E（1/3，0）.
3.如图，四边形ABCO是矩形，点C的坐标为（2√3，0），∠CAB=30，点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
（1）直接写出点B的坐标：______；
（2）是否存在这样的点D，使△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
【思路分析】
（1）利用矩形性质及含30角的直角三角形边角关系，即可解答；
（2）在D点运动过程中，∠DEC或∠DCE必为钝角，故当△DEC是等腰三角形时，只存在两种情况，分DE=EC，CD=CE两种情况分别画图，再利用图形中存在的特殊三角形性质，即可解答。
【解题过程】
（1）∵四边形ABCO是矩形，∴AB=OC=2√3，∵∠CAB=30，∴BC=2，∴B点坐标为（2√3，2）；
（2）存在，理由是：
①当DE=EC时，如图1，∵∠BAC=∠DCE=30，∴∠EDC=∠ECD=30，∴∠CDB=60，∵∠ACB=60，∴△DCB是等边三角形，∴CD=BC=2，∵AB=2√3，BC=2，由勾股定理可得AC=4，∴AD=AC-CD=2；
②当CD=CE时，如图2，∵∠ACO=30°，∴∠CDE=∠CED=15°，∵∠BDE=90°，∴∠ADB=75°，∴∠ABD=75°，∴∠ADB=∠ABD，∴AD=AB=2√3.
综上所述，当△DEC是等腰三角形时，AD的长度为2或2√3.
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