欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，八年级下学期数学期末考试中的一些压轴题型训练第五天，跟随我们的脚步，继续加油。
1.如图,平行四边形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD=AD=4,∠A=∠C=60°,连接BD,将△BCD绕点B旋转,当BD(即)与AD交于一点E,BC(即BC`)同时与CD交于一点F时,下列结论正确的是（ ）
①AE=DF；②∠BEF=60°；
③∠DEB=∠DFB；
④△DEF的周长的最小值是4+2√3
A.①②B.②③ C.①②④D.①②③④
【思路分析】
①由题可知：△ABD、△CBD是等边三角形，由旋转性质易得∠ABE=∠DBF，通过证明△ABE≌△DBF，可得AE=DF；
②由①的全等可得△BEF是等腰三角形，由旋转性质可得∠EBF=60，依“有一个角为60的等腰三角形是等边三角形”可判别△BEF是等边三角形，即可得出结论；
③由于旋转角度未知，故△BDE与△DBF不一定会全等，故∠DEB与∠DFB不一定会相等，只有旋转角度为30时，即BF或BE是角平分线时，结论才成立；
④△DEF的周长= DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，要想周长最小，则需EF最小，而△BEF是等边三角形，EF=BE，即需BE最短，当BE是垂线段时BE最短，通过Rt△ABE可求出BE的最小值，进而得出△DEF的周长的最小值.
【解题过程】
（1）由题可知：△ABD、△CBD是等边三角形，∴∠ABD=∠CBD，由旋转性质可得：∠CBD=∠FBE，∴∠ABD=∠CBD=∠FBE，∴∠ABE=∠DBF，∵∠A=∠BDC=60，AB=BD，∴△ABE≌△DBF，∴AE=DF，①正确；
（2）∵△ABE≌△DBF，∴BE=BF，∵∠EBF=∠DBC=60，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF=60，②正确；
（3）由于旋转角度未知，即点E、F的位置未定，故∠DEB与∠DFB不一定相等，∴③错误；
（4）由（1）可知AE=DF，∴DE+DF=DE+AE=AD=4，当EF最短时，△DEF的周长有最小值。∵△BEF是等边三角形，EF=BE，当BE⊥AD时，BE最短，即EF最短，∵∠A=60，AB=4，∴BE=2√3，∴EF最小值为2√3，∴△DEF的周长的最小值=DE+DF+EF=AD+EF=4+2√3，④正确；选C.
2.如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10,等腰直角三角形ADE绕着点A旋转,∠DAE=90°,AD=AE=6,连接BD、CD、CE,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点,连接MP、PN、MN,则△PMN的面积最大值为___________.
【思路分析】
由旋转性质易证△ABD≌△ACE,得∠ADB=∠AEC,BD=CE,由中位线定理及平行线性质，可得出△PMN是等腰直角三角形，则欲求△PMN的面积最大值，即求NP的最大值，即求BD的最大值，△ADE是绕点A旋转，即以点A为圆心，AD=6为半径画圆，点D是圆上一点，当B、D、A在同一直线上，且点D处于BA的延长线上时，BD最长，此时BD=16，即可求出△PMN的面积最大值.
【解题过程】
由旋转可得：∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC,BD=CE, ∵M、P分别是DE、DC的中点，∴MP是△DEC的中位线，∴MP//EC,且EC=2MP，∵N、P分别是BC、DC的中点，∴NP是△CDB的中位线，∴NP//BD,且BD=2NP，∵BD=EC,∴2MP=2NP,∴MP=NP；即△PMN是等腰三角形；∵∠MPD=∠ECD, ∠NPD+∠BDP=180,∵∠BDP=∠DEC+∠ECD,∴∠NPD+∠DEC+∠ECD =180,∵∠ADB=∠AEC, ∠ADB=∠AED+ ∠DAE,∴∠AEC=∠AED+ ∠DAE,即∠DEC+∠AED=∠AED+ ∠DAE,∴∠DEC=∠DAE=90, ∴∠NPD +∠EDC =90,即∠NPD +∠MPD =90,即MP⊥NP，∴△PMN是等腰直角三角形；∴△PMN的面积=NP×MP÷2=NP×NP÷2=BD×BD÷8，当BD最大时，△PMN的面积有最大值，如图，当B、A、D在同一直线上，且点D处于BA的延长线上时，BD最长，此时BD=AB+AD=16，∴△PMN的面积最大值为32.
3.如图1,已知平行四边形ABCO,以点O为原点,OC所在的直线为x轴,建立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,∠A=60°,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点,PM⊥x轴于点M点，点E与E`关于x轴对称,连接BP、E`M.
(1)请直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为_________；
(2)当BP+PM+ME`的长度最小时,请直接写出此时点P的坐标为__________；
(3)如图2,点N为线段BC上的动点且CM=CN,连接MN,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的EP的值；若不存在,请说明理由。
【思路分析】
(1)由30角的直角三角形可求出OD的长，可得A点的坐标；由平行线四边形的性质可求出BD的长，可得B点的坐标；
(2)由于易得PM=√3，欲求BP+PM+ME`最小，即求BP+E`M最小，两条线段四个点，属于将军饮马问题中的“平移+对称”模型，将点E`往上平移√3个单位长度与点O重合，此时M也会往上平移√3个单位与点P重合，即BP+E`M=BP+OP，当O、P、B三点共线时，BP+OP最短，再通过OB的解析式即可求出此时点P的坐标。
(3)分三种情况分别画出图形求解即可解答。
【解题过程】
(1)在直角三角形OAD中，∠A=60，∠AOD=30，AD=2，∴OD=2√3，∴A（-2，2√3）；∵四边形AOCB是平行四边形，∴AB=OC=6，∴BD=4，∴B（4，2√3）.
(2)∵线段EF为OD的垂直平分线, PM⊥x轴，∴∠EOM=∠OMP=∠MPE=∠PEO=90，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=√3，∵点E与E`关于x轴对称,∴OE=OE`=√3,将点E`往上平移√3个单位,此时E`与点O重合，连接OB，交EF于点P，作PM⊥x轴于点M点，即为所求，此时，BP+PM+ME`有最小值为OB+PM的长度，∵B（4，2√3），∴直线OB的表达式为：y=(√3x)/2,当y=√3时,x=2,∴P点坐标为（2，√3）.
(3)
①当PM=MN时，如图3，由题可得：PM=MN=CM=√3，∴EP=OM=6-√3.
②当PN=MN时，如图4，此时P、F重合，∵PM=√3，∠C=60，∴CM=1，∴EP=OM=6-1=5.
③当PN=PM时，如图5，∵∠A=∠C=60，CM=CN，∴△CMN是等边三角形，∵PM⊥OC，∴∠PMN=∠PNM=30，∵∠MNC=60，∴∠PNF=90，∵EF//OC，∴∠NFP=∠C=60，∵PN=√3，∴PF=2，∴EP=EF-PF=5-2=3.
综上所述，当△PMN为等腰三角形时，EP的长度分别为6-√3、5或3.
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