欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，八年级下学期数学期末考试中的一些压轴题型训练第三天，跟随我们的脚步，继续加油。
1.已知如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=1，PB=√6，下列结论正确的序号是（ ）
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为√3；
③EB⊥ED；④四边形BCDP的面积为4.5+√2.
A. ①③④ B. ①②③
C. ②③④ D. ①②④
【思路分析】
①依“共角模型”可得∠EAB=∠PAD,SAS即可证明△APD≌△AEB,①正确；
②由①的全等及△APE是等腰直角三角形，可得出△BEP是直角三角形，由勾股定理可算出BE=√3,由直角三角形斜边大于直角边长度，可判断②错误；
③结论②已经证明，故③正确；
④先证△MBE是等腰直角三角形，由勾股定理即可得BM、ME、AM、AB的长，则可求出正方形的面积，再由面积方法中的“补割法”，把四边形BCDP的面积转化为正方形ABCD的面积减去四边形AEBP的面积，而四边形AEBP的面积等于△APE与△BEP的面积之和，即可判断结论。
【解题过程】
（1）∵∠EAP=∠BAD=90,∴∠EAB=∠PAD,∵AE=AP,AB=AD,∴△APD≌△AEB,①正确；
（2）作BM⊥AE的延长线于点M，∵△AEP是等腰直角三角形，∴EP=√2,∠AEP=∠APE=45,∴∠APD=135,由△APD≌△AEB可得∠AEB=∠APD=135,∴∠PEB=90,∵BP=√6,EP=√2,由勾股定理可得BE=2, ∵∠AEB=135,∴∠MEB=45,∴△MEB是等腰直角三角形，∵BE=2,由勾股定理可得BM=ME=√2,即点B到直线AE的距离不等于√3，②错误；
（3）EB⊥ED，即∠BEP=90，（2）已证明，故③正确；
（4）
2.已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足x*2-8x+y*2-12y+52=0，则这个等腰三角形的面积为____
【思路分析】利用“配方法”及平方数的非负性，即可得出x与y的值，再分x为腰和y为值两种情形进行分类讨论，由勾股定理先求出底边上的高，即可得出该等腰三角形的面积。
【解题过程】
3.在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠MDN=120，射线DM和AB相交于点E，射线DN与AC相交于点F.
（1）如图1，若DF⊥AC，请写出DE与AB的位置关系及DE与DF的数量关系,并写出推理过程；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，DE=DF还成立吗？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由；
（3）在∠MDN绕点D顺时针旋转过程中，当点E在线段AB上，请直接用等式表示线段DE、CF、AB间的数量关系.
【思路分析】
（1）由DF⊥AC、∠MDN=120、等边△ABC这些条件，易得∠BED=90,即DE⊥AB；再由AAS证明△DCF≌△DBE，即可得出DE与AB的数量关系；
（2）“套”用（1）的图形结构和解题思路，故先构造垂线DG、DH，通过两次三角形全等证明，即可得了结论；
（3）由于∠MDN=120，点E在线段AB上，但点F可能在线段AC上，也可能在线段AC的延长线上，故需分类讨论。①当点F在线段AC上时，可参照（2）的图形及解题思路和解题过程，再利用△BGD、△DCH中含有的30建立起BG与BD、CH与DC的关系，再利用AB=2BD=2DC，即可寻找到BE、CF与AB的数量关系；
②当点F在线段AC的延长线上时，可参照①的解题思路与过程，即可寻找到BE、CF与AB的数量关系；
【解题过程】
（1）∵DF⊥AC，∠C=60,∴∠FDC=30,∵∠MDN=120，∴∠EDB=30,∵∠B=60,∴∠BED=90,即DE⊥AB；
∵∠B=∠C=60,∠DEB=∠DFC=90,BD=DC,∴△DCF≌△DBE，∴DE=DF
（2）成立，理由是：
过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，如图3，由（1）可知：△DBG≌△DCH，∠GDH=120，∴DG=DH，∠GDH=∠EDF,∴∠GDE=∠GDH，∴△DGE≌△DHF，∴DE=DF.
（3）①当点F在线段AC上时，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，如图3，由（2）中△DBG≌△DCH，△DGE≌△DHF可得BG=CH,GE=HF,在Rt△BGD中，∵∠B=60,∴∠GDB=30,∴BD=2BG,同理可得DC=2CH，∴AB=BC=BD+DC=2BG+2CH=2(BE-GE)+2(CF+FH)=2(BE+CF)；
②当点F在线段AC延长线上时，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，如图4，由（2）中△DBG≌△DCH，△DGE≌△DHF可得BG=CH,GE=HF,由①可得：BD=2BG, DC=2CH，
∴AB=BC=BD+DC=2BG+2CH=2(BE-GE)+2(FH-CF)=2(BE-CF)；
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