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1.已知如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,过点A作AE的垂线交DE于点P,若AE=AP=1,PB=√6,下列结论正确的序号是( )
①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为√3;
③EB⊥ED;④四边形BCDP的面积为4.5+√2.
A. ①③④ B. ①②③
C. ②③④ D. ①②④
【思路分析】
①依“共角模型”可得∠EAB=∠PAD,SAS即可证明△APD≌△AEB,①正确;
②由①的全等及△APE是等腰直角三角形,可得出△BEP是直角三角形,由勾股定理可算出BE=√3,由直角三角形斜边大于直角边长度,可判断②错误;
③结论②已经证明,故③正确;
④先证△MBE是等腰直角三角形,由勾股定理即可得BM、ME、AM、AB的长,则可求出正方形的面积,再由面积方法中的“补割法”,把四边形BCDP的面积转化为正方形ABCD的面积减去四边形AEBP的面积,而四边形AEBP的面积等于△APE与△BEP的面积之和,即可判断结论。
【解题过程】
(1)∵∠EAP=∠BAD=90,∴∠EAB=∠PAD,∵AE=AP,AB=AD,∴△APD≌△AEB,①正确;
(2)作BM⊥AE的延长线于点M,∵△AEP是等腰直角三角形,∴EP=√2,∠AEP=∠APE=45,∴∠APD=135,由△APD≌△AEB可得∠AEB=∠APD=135,∴∠PEB=90,∵BP=√6,EP=√2,由勾股定理可得BE=2, ∵∠AEB=135,∴∠MEB=45,∴△MEB是等腰直角三角形,∵BE=2,由勾股定理可得BM=ME=√2,即点B到直线AE的距离不等于√3,②错误;
(3)EB⊥ED,即∠BEP=90,(2)已证明,故③正确;
(4)
2.已知等腰三角形的两边长分别为x和y,且x和y满足x*2-8x+y*2-12y+52=0,则这个等腰三角形的面积为____
【思路分析】利用“配方法”及平方数的非负性,即可得出x与y的值,再分x为腰和y为值两种情形进行分类讨论,由勾股定理先求出底边上的高,即可得出该等腰三角形的面积。
【解题过程】
3.在等边△ABC中,点D是线段BC的中点,∠MDN=120,射线DM和AB相交于点E,射线DN与AC相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,请写出DE与AB的位置关系及DE与DF的数量关系,并写出推理过程;
(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F,DE=DF还成立吗?若成立,写出证明过程,若不成立,说明理由;
(3)在∠MDN绕点D顺时针旋转过程中,当点E在线段AB上,请直接用等式表示线段DE、CF、AB间的数量关系.
【思路分析】
(1)由DF⊥AC、∠MDN=120、等边△ABC这些条件,易得∠BED=90,即DE⊥AB;再由AAS证明△DCF≌△DBE,即可得出DE与AB的数量关系;
(2)“套”用(1)的图形结构和解题思路,故先构造垂线DG、DH,通过两次三角形全等证明,即可得了结论;
(3)由于∠MDN=120,点E在线段AB上,但点F可能在线段AC上,也可能在线段AC的延长线上,故需分类讨论。①当点F在线段AC上时,可参照(2)的图形及解题思路和解题过程,再利用△BGD、△DCH中含有的30建立起BG与BD、CH与DC的关系,再利用AB=2BD=2DC,即可寻找到BE、CF与AB的数量关系;
②当点F在线段AC的延长线上时,可参照①的解题思路与过程,即可寻找到BE、CF与AB的数量关系;
【解题过程】
(1)∵DF⊥AC,∠C=60,∴∠FDC=30,∵∠MDN=120,∴∠EDB=30,∵∠B=60,∴∠BED=90,即DE⊥AB;
∵∠B=∠C=60,∠DEB=∠DFC=90,BD=DC,∴△DCF≌△DBE,∴DE=DF
(2)成立,理由是:
过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,如图3,由(1)可知:△DBG≌△DCH,∠GDH=120,∴DG=DH,∠GDH=∠EDF,∴∠GDE=∠GDH,∴△DGE≌△DHF,∴DE=DF.
(3)①当点F在线段AC上时,过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,如图3,由(2)中△DBG≌△DCH,△DGE≌△DHF可得BG=CH,GE=HF,在Rt△BGD中,∵∠B=60,∴∠GDB=30,∴BD=2BG,同理可得DC=2CH,∴AB=BC=BD+DC=2BG+2CH=2(BE-GE)+2(CF+FH)=2(BE+CF);
②当点F在线段AC延长线上时,过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,如图4,由(2)中△DBG≌△DCH,△DGE≌△DHF可得BG=CH,GE=HF,由①可得:BD=2BG, DC=2CH,
∴AB=BC=BD+DC=2BG+2CH=2(BE-GE)+2(FH-CF)=2(BE-CF);
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