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1.如图,△ABC中,AB>AC,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF,则①EF//AB;②2∠BCG=∠ACB-∠ABC;③2EF=AB-AC;④AB-AC<2AE<AB+AC,其中正确的是( )
A.①②③④ B. ①②
C. ②③④D. ①③④
【思路分析】
①由△AFG≌△AFC可得F是中点,进而可得EF是中位线,即可证明结论正确;
②由△AFG≌△AFC可得∠ACG=∠AGC,由外角定理可得∠ACG=∠ABC+∠BCG,再利用等量代换即可证明结论正确;
③由△AFG≌△AFC可得AC=AG,由中位线定理可得BG=2EF,再利用等量代换即可证明结论正确;
④利用“中线倍长”及“三角形三边关系”解题即可。
【解题过程】
(1)∵AD是其角平分线,CG⊥AD,∴∠GAF=∠CAF,∠AFG=∠AFC,∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC,∴GF=CF,即F是CG的中点,∵AE是中线,∴EF是△CBG的中位线,∴EF//BG,即EF//AB,①正确;
(2)∵△AFG≌△AFC,∴∠ACG=∠AGC,∵∠ACG=∠ABC+∠BCG,∴∠ACB-∠ABC=∠ACG+∠BCG-∠ABC =∠AGC+∠BCG-∠ABC =∠ABC+∠BCG+∠BCG-∠ABC=2∠BCG,②正确;
(3)∵△AFG≌△AFC,∴AC=AG,∵EF是△CBG的中位线,∴BG=2EF,∴AB-AC=AB-AG=BG=2EF,③正确;
(4)延长AE到H,使HE=AE,连接BH,∵AE=EH,∠AEC=∠HEB,CE=BE,∴△AEC≌△HEB,∴AC=BH,在△ABH中,AB-BH<AH<AB+BH,即AB-AC<2AE<AB+AC,④正确;
综上所述,正确的结论是①②③④,选A.
【思路分析】
规律探究题型,利用含30角的直角三角形三边关系“1、2、√3”,求出每个平行四边形的底边及对角线的长度,进而可得出每个C的坐标,再观察含C的点的坐标规律,得出结论。
【解题过程】
3.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接DC,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.
(1)图1中,线段PM与PN的数量关系是______,位置关系是______;
(2)把△ADE绕点A逆时针旋转到图2位置,连接MN、BD、CE,判断△PMN的形状,说说明理由;
(3)把△ADE绕点A逆时针旋转的过程中,如果∠ABD=30(D在Rt△ABC内部,如图3),AB=BD,求证:AD=CD.
【思路分析】
(1)利用中位线定理,可得MP与EC既平行且有两倍关系,PN与BD既平行且有两倍关系,由题易得BD=EC,利用等量代换即可得出MP=NP;利用平行线的相应角的关系及外角定理,可建立起∠DPN与∠MPD的90关系;
(2)由旋转性质易证△ABD≌△ACE,得∠ADB=∠AEC,BD=CE,由中位线定理,可得EC=2PM,BD=2PN,故PM=PN,是等腰三角形;依“解题思路的延续性”,利用(1)“证明∠DPN与∠MPD的90关系”的思路过程,即可证出它们的90关系没变,即可得出△PMN是等腰直角三角形;
(3)欲证AD=CD,则需证△ADC是等腰三角形,由(1)、(2)众多中点可猜想,要证△ADC是等腰三角形,应利用“三线合一”来证,故取AC的中点H,连接DH,只需证DH⊥AC即可;由∠ABD=30联想到需构造直角三角形,故作AG⊥BD,可得AB=2AG,进而可得AC=2AG,即AH=AG,故欲证DH⊥AC,只需证∠AHD=∠AGD,即证△AHD≌△AGD,已知有两边相等(AD=AD、AG=AH),故只需证∠HAD=∠GAD,依△ABD是等腰三角形、∠BAD=30,可算出∠HAD=∠GAD=15,即可解答。
【解题过程】
(1)线段PM与PN的数量关系是PM=PN,位置关系是MP⊥NP.
理由是:∵AB=AC,AD=AE,∴BD=EC,∵M、P分别是DE、DC的中点,∴MP是△DEC的中位线,∴MP//EC,且EC=2MP,∵N、P分别是BC、DC的中点,∴NP是△CDB的中位线,∴NP//BD,且BD=2NP,∵BD=EC,∴2MP=2NP,∴MP=NP;∵MP//EC,∴∠MPD=∠ECD,∵NP//BD,∴∠DPN+∠BDC=180,∵∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠DPN+∠A+∠ACD =180,∴∠DPN +∠ACD =90, ∴∠DPN +∠MPD =90,即MP⊥NP,
(2)△PMN是等腰直角三角形,理由是:
由旋转可得:∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC,BD=CE,由(1)可得:EC=2MP,BD=2NP,∴MP=NP,即△PMN是等腰三角形;由(1)可得:∠MPD=∠ECD, ∠NPD+∠BDP=180,∵∠BDP=∠DEC+∠ECD,∴∠NPD+∠DEC+∠ECD =180,∵∠ADB=∠AEC, ∠ADB=∠AED+ ∠DAE,∴∠AEC=∠AED+ ∠DAE,即∠DEC+∠AED=∠AED+ ∠DAE,∴∠DEC=∠DAE=90, ∴∠NPD +∠EDC =90,即∠NPD +∠MPD =90,即MP⊥NP,∴△PMN是等腰直角三角形;
(3)取AC的中点H,连接DH,作AG⊥BD于G,∵∠BAD=30,∴2AG=AB,∵AB=AC,2AH=AC,∴AG=AH,∵BA=BD,∴∠ABD=∠BDA=75,∴∠GAD=15,由旋转可得:∠EAH=∠BAD=75,∴∠DAH=15,∴∠GAD=∠HAD,∵AD=AD,AG=AH,∴△GAD≌△HAD,∴∠AGD=∠AHD=90,即DH⊥AC,∵AH=HC,∴DH是垂直平分线,∴AD=DC。
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