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1.如图，△ABC中，AB>AC,AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF,则①EF//AB；②2∠BCG=∠ACB-∠ABC；③2EF=AB-AC；④AB-AC<2AE<AB+AC，其中正确的是（ ）
A.①②③④ B. ①②
C. ②③④D. ①③④
【思路分析】
①由△AFG≌△AFC可得F是中点，进而可得EF是中位线，即可证明结论正确；
②由△AFG≌△AFC可得∠ACG=∠AGC,由外角定理可得∠ACG=∠ABC+∠BCG，再利用等量代换即可证明结论正确；
③由△AFG≌△AFC可得AC=AG，由中位线定理可得BG=2EF，再利用等量代换即可证明结论正确；
④利用“中线倍长”及“三角形三边关系”解题即可。
【解题过程】
（1）∵AD是其角平分线，CG⊥AD，∴∠GAF=∠CAF,∠AFG=∠AFC,∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC,∴GF=CF,即F是CG的中点，∵AE是中线，∴EF是△CBG的中位线，∴EF//BG，即EF//AB，①正确；
（2）∵△AFG≌△AFC,∴∠ACG=∠AGC,∵∠ACG=∠ABC+∠BCG，∴∠ACB-∠ABC=∠ACG+∠BCG-∠ABC =∠AGC+∠BCG-∠ABC =∠ABC+∠BCG+∠BCG-∠ABC=2∠BCG，②正确；
（3）∵△AFG≌△AFC,∴AC=AG，∵EF是△CBG的中位线，∴BG=2EF，∴AB-AC=AB-AG=BG=2EF,③正确；
（4）延长AE到H，使HE=AE，连接BH，∵AE=EH,∠AEC=∠HEB,CE=BE,∴△AEC≌△HEB,∴AC=BH，在△ABH中，AB-BH<AH<AB+BH，即AB-AC<2AE<AB+AC，④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④，选A.
【思路分析】
规律探究题型，利用含30角的直角三角形三边关系“1、2、√3”，求出每个平行四边形的底边及对角线的长度，进而可得出每个C的坐标，再观察含C的点的坐标规律，得出结论。
【解题过程】
3.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE,连接DC,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.
（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是______,位置关系是______；
（2）把△ADE绕点A逆时针旋转到图2位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，说说明理由；
（3）把△ADE绕点A逆时针旋转的过程中，如果∠ABD=30(D在Rt△ABC内部，如图3），AB=BD,求证：AD=CD.
【思路分析】
（1）利用中位线定理，可得MP与EC既平行且有两倍关系，PN与BD既平行且有两倍关系，由题易得BD=EC，利用等量代换即可得出MP=NP；利用平行线的相应角的关系及外角定理，可建立起∠DPN与∠MPD的90关系；
（2）由旋转性质易证△ABD≌△ACE,得∠ADB=∠AEC,BD=CE,由中位线定理，可得EC=2PM,BD=2PN，故PM=PN，是等腰三角形；依“解题思路的延续性”，利用（1）“证明∠DPN与∠MPD的90关系”的思路过程，即可证出它们的90关系没变，即可得出△PMN是等腰直角三角形；
（3）欲证AD=CD，则需证△ADC是等腰三角形，由（1）、（2）众多中点可猜想，要证△ADC是等腰三角形，应利用“三线合一”来证，故取AC的中点H，连接DH，只需证DH⊥AC即可；由∠ABD=30联想到需构造直角三角形，故作AG⊥BD，可得AB=2AG，进而可得AC=2AG,即AH=AG，故欲证DH⊥AC，只需证∠AHD=∠AGD，即证△AHD≌△AGD，已知有两边相等（AD=AD、AG=AH），故只需证∠HAD=∠GAD，依△ABD是等腰三角形、∠BAD=30，可算出∠HAD=∠GAD=15，即可解答。
【解题过程】
（1）线段PM与PN的数量关系是PM=PN,位置关系是MP⊥NP.
理由是：∵AB=AC,AD=AE,∴BD=EC,∵M、P分别是DE、DC的中点，∴MP是△DEC的中位线，∴MP//EC,且EC=2MP，∵N、P分别是BC、DC的中点，∴NP是△CDB的中位线，∴NP//BD,且BD=2NP，∵BD=EC,∴2MP=2NP,∴MP=NP；∵MP//EC，∴∠MPD=∠ECD,∵NP//BD，∴∠DPN+∠BDC=180,∵∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠DPN+∠A+∠ACD =180,∴∠DPN +∠ACD =90, ∴∠DPN +∠MPD =90,即MP⊥NP，
（2）△PMN是等腰直角三角形，理由是：
由旋转可得：∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC,BD=CE,由（1）可得：EC=2MP，BD=2NP，∴MP=NP,即△PMN是等腰三角形；由（1）可得：∠MPD=∠ECD, ∠NPD+∠BDP=180,∵∠BDP=∠DEC+∠ECD,∴∠NPD+∠DEC+∠ECD =180,∵∠ADB=∠AEC, ∠ADB=∠AED+ ∠DAE,∴∠AEC=∠AED+ ∠DAE,即∠DEC+∠AED=∠AED+ ∠DAE,∴∠DEC=∠DAE=90, ∴∠NPD +∠EDC =90,即∠NPD +∠MPD =90,即MP⊥NP，∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）取AC的中点H，连接DH，作AG⊥BD于G，∵∠BAD=30，∴2AG=AB,∵AB=AC,2AH=AC,∴AG=AH,∵BA=BD,∴∠ABD=∠BDA=75,∴∠GAD=15,由旋转可得：∠EAH=∠BAD=75,∴∠DAH=15,∴∠GAD=∠HAD,∵AD=AD,AG=AH,∴△GAD≌△HAD,∴∠AGD=∠AHD=90,即DH⊥AC,∵AH=HC,∴DH是垂直平分线，∴AD=DC。
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