问题补充:
已知在平面直角坐标系xoy中,直线y=-3x-3交x轴于点A,交y轴于点C,点B的坐标为(3,0),抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知D(4,-1),在抛物线上是否存在点P,使得以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O?若点P存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)已知正方形BEFG的顶点E在x轴上,除B点外,正方形BEFG还有一个顶点在抛物线上,请直接写出E点所有可能的坐标.
答案:
解:(1)直线y=-3x-3与x轴的交点为(-1,0),与y轴的交点为(0,-3),
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)在抛物线上存在点P(3+2,12+8)或(3-2,12-8),能够使得以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O.理由如下:
设P点的坐标为(x,x2-2x-3).
∵线段PD为⊙O′的直径,D(4,-1),
∴O′点的坐标为(,).
∵O′O=O′D,
∴2+2=(-4)2+(+1)2,
整理,得x2-6x-3=0,
解得x=3±2.
当x=3+2时,x2-2x-3=(3+2)2-2(3+2)-3=12+8,此时P点的坐标为(3+2,12+8),
当x=3-2时,x2-2x-3=(3-2)2-2(3-2)-3=12-8,此时P点的坐标为(3-2,12-8);
(3)不妨设点F在抛物线y=x2-2x-3上,E点的坐标为(m,0).
分两种情况:
①当BE为正方形BEFG的边时,则F点的坐标为(m,m2-2m-3).
∵四边形BEFG是正方形,
∴BE=EF,
∴|m-3|=|m2-2m-3|,
即m-3=m2-2m-3,或m-3=-(m2-2m-3),
解得m1=0,m2=3,或m1=-2,m2=3,
当m=3时,E点与B点重合,不合题意,舍去,
∴E点的坐标为(0,0)或(-2,0);
②当BE为正方形BEFG的对角线时,
∵BE=FG,BE⊥FG,BE与FG互相平分,
∴点F在BE的垂直平分线上,且点F到BE的距离BE,
∴F点的坐标为(,||),
∵点F在抛物线y=x2-2x-3上,
∴||=2-2-3,
即=2-2-3,或-=2-2-3,
解得m1=-3,m2=3,或m1=-7,m2=3,
当m=3时,E点与B点重合,不合题意,舍去,
∴E点的坐标为(-3,0)或(-7,0).
综上可知,E点所有可能的坐标为(0,0)或(-2,0)或(-3,0)或(-7,0).
解析分析:(1)根据直线y=-3x-3求出与x轴、y轴的交点坐标,再利用B的坐标,结合待定系数法求出a、b、c值,得到二次函数解析式;
(2)设P点的坐标为(x,x2-2x-3),先根据中点坐标公式得到O′点的坐标为(,),再根据同圆的半径相等得到O′O=O′D,列出关于x的方程,求解即可;
(3)根据题意,不妨设E点的坐标为(m,0),点F在抛物线y=x2-2x-3上.分两种情况进行讨论:①当BE为正方形BEFG的边时,则F点的坐标为(m,m2-2m-3),根据正方形的边长相等,BE=EF列出关于m的方程,求解即可;②当BE为正方形BEFG的对角线时,根据正方形的对角线互相垂直平分且相等,得出F点的坐标为(,||),将它代入抛物线的解析式,列出关于m的方程,求解即可.
点评:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,中点坐标公式,两点间的距离公式,正方形的性质,综合性较强,难度较大,其中(3)进行分类讨论是解题的关键.
已知在平面直角坐标系xoy中 直线y=-3x-3交x轴于点A 交y轴于点C 点B的坐标为(3 0) 抛物线y=ax2+bx+c经过A B C三点.(1)求抛物线的解析