已知直线l的方程y=mx+m^2 抛物线C1的顶点和椭圆C2的中心都在坐标原点 且它们的焦点均在y轴

问题补充：

已知直线l的方程y=mx+m^2,抛物线C1的顶点和椭圆C2的中心都在坐标原点,且它们的焦点均在y轴上,当m=1时,直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,求抛物线C1的方程

答案：

设抛物线方程为x²=2px（因为抛物线的焦点均在y轴上,且顶点在原点）

当m=1时,直线方程为：y=x+1,即x=y-1,将其带入抛物线方程有：

y²-2y（1-p）+1=0,因为直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,则根据判别式有：

△=0,即b²-4ac=4（1-p）²-4=0.即8p²-8p=0,（因为p≠0）,则p=1

则抛物线方程为：x²=2y