问题补充：
设n是自然数,求证nˇ5-n可被30整除
答案：
n^5-n=n*(n^4-1)=(n-1)*n*(n+1)*(n^2+1)
(n-1),n,(n+1)三数中必有一个数能被2整除,一个数能被3整除,故(n-1)*n*(n+1) 必能被6整除,于是n^5-n必能被6整除.
另一方面,如果n能被5整除,则n^5-n也能被5整除,如果n不能被5整除,由于5是素数,由Fermat定理可知,n^5-n也能被5整除,因此对任意的n,n^5-n均能被5整除,于是n^5-n必能被30整除.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
nˇ5-n=n*(N^4-1)
= (n-1)*n*(n+1)*(n^2+1)
前三个数中保证有2和3 的因子，若n=5, 能被30整除
若 N不等于5，当 N = 5*P+1或 N = 5*P -1，(n-1)*n*(n+1) 三个因子中有5的因子
若N = 5*P+2 , 则N^2 +1 =25*P*P +20P +4+1 有5的因子 当N = 5*P+3也一样
供参考答案2:
n*(n^4-1)
n*(n^2+1)*(n^2-1)
n*(n^2+1)*(n+1)(n-1) 式一
n=1时,(n-1)=0 原式=0 能被30整除
n>1时,n-1,n,n+1,是连续的三个自然数,所以至少有一个是偶数字,而且至少一个能被三整除,所以一定能被六整除
分析十个数,即N的个位有十种情况:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
1)0,5 式一能被五整除
2)2,3,7,8
根据(n^2+1)式,可知能被五整除
3)1,6,9
根据(n-1)式,可知能被五整除
4)4根据(n+1)式,可知能被五整除
所以不管个位数是什么,该数都能被五整除,
结合前面的分析能被六整除,
所以原式能被三十整除
供参考答案3:
根据欧拉定理，X的（M的欧拉函数）次同余1（MOD M）
所以30的欧拉函数为8
PS，欧拉函数就是一个数在不大于他的数中与他互质的数的个数
所以n的8次同余1，就是n的4次同余1，所以n的5次同余n（mod 30），所以n的5次-n同余0（mod30）
所以nˇ5-n可被30整除
