问题补充:
已知函数f(x)(x∈R,且x>0),对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x>1时,
f(x)>0恒成立.
(1)求f(1);???
(2)证明方程f(x)=0有且仅有一个实根;
(3)若x∈[1,+∞)时,不等式f>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案:
解:(1)∵定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),
令x=y=1,
∴f(1)=2f(1),
∴f(1)=0;(2分)
证明:(2)任取0<x1<x2,则>1,则题意得f>0
又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),∴f(xy)-f(y)=f(x),
∴f(x2)-f(x1)=f>0
∴f(x2)>f(x1)
∴函数f(x)在其定义域内为增函数,由(1)和f(1)=0,
所以1为方程f(x)=0的一个实根,若还存在一个x0,且x0>0,使得f(x0)=0,
因为函数f(x)在其定义域内为增函数,必有x0=1,故方程f(x)=0有且仅有一个实根;(8分)
解:(3)由(2)知函数f(x)在其定义域内为增函数
当x∈[1,+∞)时,不等式f>0=f(1)恒成立,即>1恒成立
即x2+2x+a>x,即a>-x2-x在x∈[1,+∞)时恒成立
∵-x2-x在x∈[1,+∞)时最大值为-2
∴a>-2(14分)
解析分析:(1)令x=y=1,根据函数f(x)(x∈R,且x>0),对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),我们易构造关于f(1)的方程,解方程即可求出求f(1);???(2)根据已知中函数f(x)(x∈R,且x>0),对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x>1时,f(x)>0恒成立,我们可以判断出函数在其定义域内为增函数,结合(1)的结论及单调函数的性质,即可得到结论.(3)由(2),(1)的结论,我们易将不等式f>0转化为a>-x2-x在x∈[1,+∞)时恒成立,根据二次函数的性质,我们即可求出实数a的取值范围.
点评:本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数单调性的性质,其中(1)的关键是“凑配”思想的应用,(2)的关键是将f(xy)=f(x)+f(y),变型为f(xy)-f(y)=f(x),从而得到f(x1)-f(x2)=f,(3)的关键是利用函数的单调性对不等式f>0进行变形.
已知函数f(x)(x∈R 且x>0) 对于定义域内任意x y恒有f(xy)=f(x)+f(y) 并且x>1时 f(x)>0恒成立.(1)求f(1);???(2)证明方