问题补充:
如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=BD,AE延长线与BC的延长线相交于F
(1)试说明AF=BD;
(2)请问BD是∠ABC的平分线吗?如果是,请说明理由;
(3)请在图中作出△AFC关于直线AC的轴对称图形,记F的对称点为G,若BG=3cm
试求线段AD的长.
答案:
解:(1)∵AE⊥BE,
∴∠AED=90°,
∵∠ADE=∠BDC,∠ACB=90°,
∴∠EAD=∠DBC,
∵在△AFC和△BDC中,
,
∴Rt△AFC≌Rt△BDC(ASA),
∴AF=BD;
(2)BD是∠ABC的平分线.
理由如下:
∵AE=BD,
∴AF=2AE,
∵AF=AE+EF=2AE,
∴EF=AE,
∵在△AEB和△FEB中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△FBE(SAS),
∴∠ABE=∠FBE,
∴BD是∠ABC的角平分线;
(3)画图:
∵△AFC与△AGC关于直线AC对称,
∴△AFC≌△AGC,
∵△AFC≌△BDC,
∴△AGC≌△BDC,
∴DC=GC,
∵AC=BC,
∴AC-CD=CB-CG,
即AD=BG=3cm.
解析分析:(1)证明△AFC≌△BDC可根据全等三角形对应边相等可得AF=DB;
(2)首先证明EF=AE,再证明Rt△ABE≌Rt△FBE,可根据全等三角形对应角相等得到BD是∠ABC的平分线;
(3)首先根据题意画出图形,再根据△AFC≌△AGC,△AFC≌△BDC,可得△AGC≌△BDC,然后根据全等三角形对应边相等可得DC=GC,再利用AC=BC可得AD=BG=3cm.
点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,关键是掌握全等三角形对应边相等,对应角相等.
如图 在△ABC中 AC=BC ∠ACB=90° D是AC上一点 AE⊥BD交BD的延长线于E 且AE=BD AE延长线与BC的延长线相交于F(1)试说明AF=BD;