问题补充:
如图所示,在平面直角坐标系xoy中,Rt△AOB的直角边OB,OA分别在x轴上和y轴上,其中OA=2,OB=4,现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD,已知一抛物线经过C、D、B三点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)连接DB,P是线段BC上一动点(P不与B、C重合),过点P作PE∥BD交CD于E,则当△DEP面积最大时,求PE的解析式;
(3)作点D关于此抛物线对称轴的对称点F,连接CF交对称轴于点M,抛物线上一动点R,x轴上一动点Q,则在抛物线上是否存在点R,x轴上是否存在点Q,使得以C、M、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵△COD≌△AOB
∴OC=OA,OD=OB
∴OC=2,OD=4
∴C(-2,0)D(0,4)B(4,0)
∴设此抛物线的解析式y=ax2+bx+4(a≠0)
将C(-2,O)B(4,0)代入
∴
∴抛物线的解析式为:
(2)过E作EH⊥x轴,
∵S△DEP=S△DCP-S△ECP
=CP?OD-CP?EH
=CP(OD-EH)
设点P(m,0)
∵P在BC之间运动
∴CP=m+2
∵PE∥BD
∴△CEP∽△CDB
∴
∴
∴
∴S△DEP=
=
∴当m=1时,S△DEP有最大值为3,此时P(1,0)
又∵D(0,4)
又设BD的解析式y=kx+4(k≠0)
将B(4,0)代入0=4k+4
k=-1
∴BD:y=-x+4
∵PE∥BD
∴设PE:y=-x+b,
将P(1,0)代入
即0=-1+b,
解得b=1
∴PE的解析式为:y=-x+1;
(3)存在
∵D(0,4)F(2,4)
CF:y=x+2
∴M(1,3)
若以CM为边
在y=中令y=3
解得:x1=1+,x2=1-
∴Q1(-2+,0)Q2(-2-,0)
令y=-3,
解得:x1=1+,x2=1-
Q3(4+,0)Q4(4-,0)
若以CM为对角线,Q5与Q1重合
∴共有四个点Q.
解析分析:(1)根据旋转的性质,易求得OC、OD的长,即可得出C、D的坐标,用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)过E作x轴的垂线,设垂足为H;可设出P点坐标,根据△CPE∽△CBD得出的对应高和对应边的比,求出EH的表达式,即可得出关于△CEP的面积和P点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出P、E坐标,进而可用待定系数法求出直线PE的解析式.
(3)此题要分两种情况讨论:①以CM为边,②以CM为对角线;可根据平行四边形的性质得出Q点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出Q点坐标.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质等知识.综合性强,能力要求较高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
如图所示 在平面直角坐标系xoy中 Rt△AOB的直角边OB OA分别在x轴上和y轴上 其中OA=2 OB=4 现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得