问题补充:
定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下面是关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数;
②f(x)的图象关于点中心对称;
③f(x)的图象关于直线x=1对称;
④f(x)在[0,1]上是增函数;
其中正确的判断是________(把所有正确的判断都填上).
答案:
①②③
解析分析:由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=f(x),即可得周期T,可判断①
由f(-x)=f(x),f(x+1)=-f(x)可得f(1+x)=-f(-x),则可求f(x)图象关对称中心,又f(x)图象关于y轴(x=0)对称,故x=1也是图象的一条对称轴,故可判断②③
由f(x)为偶函数且在[-1,0]上单增可得f(x)在[0,1]上的单调性,可判断④
解答:由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),即可得周期T=2,故①正确
由f(x)为偶函数可得f(-x)=f(x),由f(x+1)=-f(x)可得f(1+x)=-f(-x),则f(x)图象关于对称,又f(x)图象关于y轴(x=0)对称,故x=1也是图象的一条对称轴,故②③正确;
由f(x)为偶函数且在[-1,0]上单增可得f(x)在[0,1]上是减函数,故④错
故
定义在(-∞ +∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x) 且在[-1 0]上是增函数 下面是关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于点