问题补充:
如图,正方形ABCD中,点E为AB上一点,点F为CB延长线上一点,且BE=BF,CE的延长线交AF于N,CM⊥NB于M,求证:
(1)CN⊥AF;
(2)∠MNC=45°;
(3)AN=BM.
答案:
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABF=∠ABC=90°,AB=BC,
在△ABF和△CBE中,
,
∴△ABF≌△CBE(SAS),
∴∠F=∠CEB,
∵∠CEB+∠BCE=90°,
∴∠F+∠BCE=90°,
∴∠CNF=90°,
∴CN⊥AF;
(2)过点B作BG⊥CN于点G,BH⊥AF于点H,
则S△CBE=CE?BG,S△ABF=AF?BH,
∵△ABF≌△CBE,
∴AF=BE,S△CBE=S△ABF,
∴BG=BH,
∴点B在∠CNF的平分线上,
即NB平分∠CNF,
∵∠CNF=90°,
∴∠MNC=45°;
(3)在CM上截取CK=BN,连接BK,
∵∠CBA=90°,
∴∠CBM+∠ABN=90°,
∵CM⊥MN,
∴∠CBM+∠BCK=90°,
∴∠ABN=∠BCK,
在△ABN和△BCK中,
,
∴△ABN≌△BCK(SAS),
∴AN=BK,CK=BN,
∵∠MNC=45°,CM⊥MN,
∴△CMN是等腰直角三角形,
∴CM=MN,
∴BM=KM,
在Rt△BKM中,BK2=BM2+KM2=2BM2,
∴BK=BM,
∴AN=BM.
解析分析:(1)由四边形ABCD是正方形,易证得△ABF≌△CBE(SAS),即可得∠F=∠CEB,又由∠CEB+∠BCE=90°,即可证得结论;
(2)首先过点B作BG⊥CN于点G,BH⊥AF于点H,S△CBE=CE?BG,S△ABF=AF?BH,△ABF≌△CBE,可得BG=BH,即可得点B在∠CNF的平分线上,则可求得
如图 正方形ABCD中 点E为AB上一点 点F为CB延长线上一点 且BE=BF CE的延长线交AF于N CM⊥NB于M 求证:(1)CN⊥AF;(2)∠MNC=45°