问题补充:
已知抛物线y=x2+bx+c的图象过A(0,1)、B(-1,0)两点,直线l:x=-2与抛物线相交于点C,抛物线上一点M从B点出发,沿抛物线向左侧运动.直线MA分别交对称轴和直线l于D、P两点.设直线PA为y=kx+m.用S表示以P、B、C、D为顶点的多边形的面积.
(1)求抛物线的解析式,并用k表示P、D两点的坐标;
(2)当0<k≤1时,求S与k之间的关系式;
(3)当k<0时,求S与k之间的关系式.是否存在k的值,使得以P、B、C、D为顶点的多边形为平行四边形?若存在,求此时k的值;若不存在,请说明理由;
(4)若规定k=0时,y=m是一条过点(0,m)且平行于x轴的直线.当k≤1时,请在下面给出的直角坐标系中画出S与k之间的函数图象.求S的最小值,并说明此时对应的以P、B、C、D为顶点的多边形的形状.
答案:
解:(1)由题意得,
解之得c=1,b=2,
所以二次函数的解析式为:y=x2+2x+1;
由于直线y=kx+m经过点A(0,1),
∴m=1,∴y=kx+1;
当x=-2时,y=-2k+1,
当x=-1时,y=-k+1,
∴P(-2,-2k+1),D(-1,-k+1).
(2)在y=x2+2x+1中,当x=-2时,y=4-4+1=1,
∴点C坐标为(-2,1),
当0<k≤1时,CP=1-(-2k+1)=2k,BD=-k+1,
∴S==k+.
(3)当k<0时,CP=-2k+1-1=-2k,BD=-k+1,
∴S==k+;
存在k的值,使四边形PDBC是平行四边形,
当PC=DB时,即-2k=-k+1,
∴k=-1;
∴当k=-1时,四边形PDBC是平行四边形.
(4)当k≤1时,S、k的函数关系式为:
S=
由题意得S=;
图象如图所示:
由图象可知,S的最小值为S=,
此时对应的多边形是一个等腰直角三角形.
解析分析:(1)将A、C的坐标代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数的值,从而确定该抛物线的解析式和对称轴方程;由于直线PA将该点A,可将其坐标代入直线PA的解析式中,即可得到m的值,易求得D、P的横坐标,将它们代入直线PA的解析式中,即可求得P、D的坐标.
(2)易求得点C(-2,1),根据(1)所得P点坐标可知,当0<k≤1时,点P位于C点下方,根据C、P的纵坐标即可得到CP的长,而BD的长等于点D的纵坐标,即可由梯形的面积公式求得四边形PBDC的面积,由此可得关于S、k的函数关系式.
(3)当k<0时,P点位于C点上方,求S、k的函数关系式同(2)完全相同,不同的只是CP的表达式.若以P、B、C、D为顶点的多边形为平行四边形,已知了PC∥BD,只需满足PC=BD即可,可根据这个等量关系列出关于k的方程,求出此时k的值.
(4)当k=0时,P、C重合,此时PD=DB=1,即S为定值,联立(2)(3)所得结论,即可得到k≤1时S、k的函数关系式.结合函数关系式即可画出S、k的函数图象,根据函数图象即可判断出S的最小值以及对应的k的值,进而可确定出此时多边形的形状.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法、分段函数的应用以及分类讨论的数学思想,综合性强,难度较大.
已知抛物线y=x2+bx+c的图象过A(0 1) B(-1 0)两点 直线l:x=-2与抛物线相交于点C 抛物线上一点M从B点出发 沿抛物线向左侧运动.直线MA分别交