问题补充:
如图,已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点,抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P,在抛物线上存在点Q,使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;
(3)点M是直线y=-2x+4上的动点,过点M作ME垂直x轴于点E,在y轴(原点除外)上是否存在点F,使△MEF为等腰直角三角形?若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)令x=0,则y=4,
令y=0,则-2x+4=0,解得x=2,
所以,点A(2,0),C(0,4),
∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为:y=-2x2+2x+4;
(2)∵y=-2x2+2x+4=-2(x-)2+,
∴点P的坐标为(,),
如图,过点P作PD⊥y轴于D,
又∵C(0,4),
∴PD=,CD=-4=,
∴S△APC=S梯形APOD-S△AOC-S△PCD,
=×(+2)×-××-×2×4,
=--4,
=,
令y=0,则-2x2+2x+4=0,
解得x1=-1,x2=2,
∴点B的坐标为(-1,0),
∴AB=2-(-1)=3,
设△ABQ的边AB上的高为h,
∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍,
∴×3h=4×,
解得h=4,
∵4<,
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方,
即点Q的纵坐标为4或-4,
当点Q的纵坐标为4时,-2x2+2x+4=4,
解得x1=0,x2=1,
此时,点Q的坐标为(0,4)或(1,4),
当点Q的纵坐标为-4时,-2x2+2x+4=-4,
解得x1=,x2=,
此时点Q的坐标为(,-4)或(,-4),
综上所述,存在点Q(0,4)或(1,4)或(,-4)或(,-4);
(3)存在.
理由如下:如图,∵点M在直线y=-2x+4上,
∴设点M的坐标为(a,-2a+4),
①∠EMF=90°时,∵△MEF是等腰直角三角形,
∴|a|=|-2a+4|,
即a=-2a+4或a=-(-2a+4),
解得a=或a=4,
∴点F坐标为(0,)时,点M的坐标为(,),
点F坐标为(0,-4)时,点M的坐标为(4,-4);
②∠MFE=90°时,∵△MEF是等腰直角三角形,
∴|a|=|-2a+4|,
即a=(-2a+4),
解得a=1,
-2a+4=2×1=2,
此时,点F坐标为(0,1),点M的坐标为(1,2),
或a=-(-2a+4),
此时无解,
综上所述,点F坐标为(0,)时,点M的坐标为(,),
点F坐标为(0,-4)时,点M的坐标为(4,-4);
点F坐标为(0,1),点M的坐标为(1,2).
解析分析:(1)根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标,再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;
(2)根据抛物线解析式求出点P的坐标,过点P作PD⊥y轴于D,根据点P、C的坐标求出PD、CD,然后根据S△APC=S梯形APOD-S△AOC-S△PCD,列式求出△APC的面积,再根据抛物线解析式求出点B的坐标,从而得到AB的长度,然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的纵坐标的值,然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标;
(3)根据点E在x轴上,根据点M在直线y=-2x+4上,设点M的坐标为(a,-2a+4),然后分①∠EMF=90°时,利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可;②∠MFE=90°时,根据等腰直角三角形的性质,点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半,然后列式进行计算即可得解.
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了直线与坐标轴的交点的求解,待定系数法求二次函数解析式,二次函数顶点坐标的求解,二次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,等腰直角三角形的性质,综合性较强,难度较大,(3)要注意分情况讨论.
如图 已知直线y=-2x+4与x轴 y轴分别相交于A C两点 抛物线y=-2x2+bx+c经过点A C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为P 在抛物线上存