刘志强
（河北省东光县第二中学 河北 沧州 061600）
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合。我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）。（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。在初中阶段，应用数形结合的思想，可以解决以下问题:
一、解决绝对值问题
画数轴，根据绝对值的性质(一点到另一点的距离)得到一个范围，从而解出绝对值。
例1. 如果a，b两数在数轴上的对应点如图所示：
则化简：__________。
简析：观察数轴可知，a＜0，b＞0，︱a︱＜︱b︱.所以a+b＞0,a-b＜0,故︱a+b︱+︱a-b︱=a+b-(a-b)=2b.
二、解决应用问题
运用画线段的方法来更简便地了解题目意思，使思维更加清晰。
例2.在一条公路上有相距750千米的甲乙两个车站，小轿车从甲站开往乙站，每小时行驶80千米，吉普车从乙站开往甲站，每小时行驶70千米，两车同时开出，经过多少小时相距150千米？
简析：通过画图可知，有两种情况：①相遇前相距150千米。②相遇后两车相距150千米。
设经过x小时两车相距15千米，则：
① 相遇前两车相距150千米，列方程80x+150+70x=150,解得x=4
② 相遇后两车相距150千米，列方程80x-150+70x=150,解得x=6
甲站
吉普车
小轿车
150千米
乙站
750千米
①
甲站
吉普车
150千米
乙站
750千米
小轿车
②
三、解决函数问题
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
例3. 已知二次函数的图象如图所示，则由抛物线的特征写出如下含有系数a，b，c的关系式：①② ③ ④，其中正确结论的序号是__________（把你认为正确的都填上）.
简析：由函数图像可知：a＞0,=,c=-1,也就是说a＞0,b=-a,c=-1,因此①④是正确的.而对于②，当x=-1时，y=,看图像可知是正确的。图像顶点在x轴下方，纵坐标小于0，不可能等于，于是正确的是①②④.
例4. 阅读函数图像，并根据你所获得的信息回答问题：
（1）折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；
（2）根据你给出的应用题分别指出x轴，y轴所表示的意义，并写出A，B两点的坐标；
（3）求出线段AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围。
简析：这个问题属于一道开放题，根据图像表达的意义，可以编出如下的应用题。
（1）小明从家里出发，步行去上学，每分钟走50米，12分钟到学校，到校后他发现忘带了数学作业本，立即跑步回家：跑了3分钟到达家里。
（2）x轴表示时间，单位：分，y轴表示路程，单位：米
A（12，600），B（15，0）
（3）
四、解决方程与不等式的问题
处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题;处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
例5.已知关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是__________
0
-1
1
2
-2
简析：不等式组的解集为a＜x＜2,整数解有两个，只能是1和0，画数轴可以看出a的取值范围只能是-1≤a＜0.
x
o
y
1
例6.已知方程有一个根大于1，另一个根小于1，求p的取值范围。
简析：由二次函数与一元二次方程的关系知，方程的两根是抛物线与x轴的两个交点的横坐标。由题意可知抛物线与x轴的两个交点一个在1的左边，另一个在1的右边，且开口向上。如图可知当x=1时，函数y＜0，即，故p＞5.5.
五、解决平面几何问题
例7. 已知：如图所示，在矩形ABCD中，以AB为直径作圆O切CD于F，连AC交圆O于P，PE⊥AB于E，AB=a，求PE的长。
简析：利用几何定理构造方程组
六、解决概率统计中的应用问题
例8.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图。
（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息；
（2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点。
（3）请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
20%
第四版
40%
第三版
1500
500
1000
二版
一版
四版
三版
单位：人
2000
简析：（1）答案是不唯一的，只要符合题意即可。比如参加调查的人数是5000，喜欢第三版的人数最多，喜欢第二版的人数最少等等。
（2）条形统计图可以清楚地表示出喜欢各版面的读者人数；扇形统计图可以清楚地表示出喜欢各版面的人数占所调查总人数的百分比。
（3）答案也是不唯一的，比如可建议改进第三版的内容，提高文章质量，贴近读者等等。
图表阅读题的解答隐含着数形结合的思想，可以帮助培养设计图纸、处理报表的能力，具在实际意义。图表信息是应用二维表提供数据关系信息，让学生通过对图表中数据信息的分析、比较、判断与归纳，弄清图表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后综合这些形与数，利用所学知识解决问题。
七、解决三角函数问题
例9.不查表、不利用计算器，试求的值。
简析：本题对于初中生来说只能利用锐角三角函数定义来解，而初中阶段锐角三角函数是在直角三角形中定义的。正好是角的一半的余角，因此可通过构造直角三角形来解，将数的问题化为形的问题。
A
B
C
D
作,使∠C＝，AC＝BC，延长CB到D，使BD＝AB，则∠D＝，∠DAC＝，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，DC＝+1，于是＝＝＝-1.
八、解决某些数式的计算问题
1
例10.求和：S＝.
简析：引导学生观察式子，发现后一项为前一项的，而又为1的一半，由此想到构造面积为1的正方形，再将其不断地等分……
如图所示，从而得到S＝1-＝.
以上只是通过几个例子来说明数形结合思想在初中数学教学中的一些应用，在实际教学中我们要让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的的主动应用。数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在学生学习过程中，可以激发学生学习数学的兴趣。
基于数形结合思想的科学内涵，我们只有将其作为一种初中数学教学必不可少的基础工具，在日常教学进程中科学渗透数形结合思想，借助数轴、坐标系、结合教材内容引导学生提升综合分析、实践与解决问题能力，才能全面提升教学质量水平。
作者姓名：刘志强
作者单位：河北省东光县第二中学
通讯地址：河北省东光县教育局061600
作者简介：刘志强，男，中学高级教师，教育学学士学位。主要研究方向为初中数学课堂教学。
