如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F，连接OF交AD于点G.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，AF＝y，试用含xy的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE＝8，sinB＝5/13，求DG的长。
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明∠ODC=90°即可。
（2）连接DF，DE，根据圆的切线，可证得∠FDC=∠DAF，再证∠CDA=∠CFD=∠AED，根据平角的定义可证得∠AFD=∠ADB，从而可证得△ABD∽△ABF，得出对应边成比例，可得出答案。
（3）连接EF，在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求出圆的半径、AE、AB的长，再证明EF∥BC，得出∠B=∠AEF，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再根据AF∥OD，得出线段成比例，求出DG的长，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长。
（1）证明：如图，连接OD.
∵ AD为∠BAC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠ODA=∠CAD.
∴ OD∥AC.
又∵∠C=90°，
∴ ∠ODC=90°，
∴ OD⊥BC，
∴ BC是⊙O的切线.
（2）连接DF，如图所示，
∵ BC为⊙O切线，
∴ ∠ODF+∠FDC＝90°.
又∵ ∠DOF＝2∠DAF，∠ODF＝∠OFD.
∴ ∠DOF+2∠ODF＝180°.
∴ 2∠DAF+2∠ODF＝180°.
即 ∠DAF+∠ODF＝90°.
∴ ∠FDC=∠DAF.
∵ ∠AFD＝∠FDC+∠C，∠ADB＝∠DAF+∠C.
∴∠AFD=∠ADB.
又∵ AD平分∠BAC.
∴ ∠BAD=∠DAF，
∴ △ABD～△ADF,
∴ AB/AD＝AD/AF.
即 AD^2=AB·AF.
∴ AD^2=xy,
∴AD=√xy.
（3）连接EF，如图所示：
在Rt△BOD中，sinB=OD/OB,
设圆的半径为r，
∴ r/(r+8)＝5/13.
∴ r=5.
∴ AE=10，AB=18.
∵ AE是直径，∠AFE=90°，又∠C=90°，
∴ EF∥BC,
∴ ∠AEF=∠B,
∴ sin∠AEF＝AF/AE=5/13.
∴ AF=AE·sin∠AEF=10×5/13=50/13.
∵ AF∥OD,
∴ AG/DG＝AF/OD＝10/13.
∴ DG=(13/23)AD.
∵ AD=√(AB·AF)＝(30/13)√13.
∴DG=(13/23)×(30/13)√13＝(30/23)√13.
【本题考点】
1. 切线的判定与性质，
2. 相似三角形的判定与性质，
3. 解直角三角形。
