考点: 圆的综合题;综合题.
题干分析:
(1)连结OD,如图1,由角平分线定义得∠BAD=∠CAD,则根据圆周角定理得到弧BD=弧CD,再根据垂径定理得OD⊥BC,由于BC∥EF,则OD⊥DF,于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线;
(2)连结OB,OD交BC于P,作BH⊥DF于H,如图1,先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°,OB=BD,易得∠BDF=∠DBP=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系,在Rt△DBP中得到PD=1/2BD,PB与PD的关系,接着在Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2,由于OP⊥BC,则BP=CP=3,所以CE=1,然后利用△BDE∽△ACE,通过相似比可得到AE的值,再证明△ABE∽△AFD,利用相似比可得DF=12,最后根据扇形面积公式,利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣(S扇形BOD﹣S△BOD)进行计算;
(3)连结CD,如图2,由AB/AC=4/3可设AB=4x,AC=3x,设BF=y,由弧BD=弧CD得到CD=BD,先证明△BFD∽△CDA,利用相似比得到xy=4,再证明△FDB∽△FAD,利用相似比得到16﹣4y=xy,则16﹣4y=4,然后解方程易得BF=3.
解题反思:
本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理;会计算不规则几何图形的面积;会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长.