如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A、B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为y=﹣2x^2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.
①求点M、N的坐标;
②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由。
解:(1)①将抛物线的函数表达式通过配方变换为顶点式:
∴顶点为M的坐标为(1/2,9/2),
当x=1/2时,y=﹣2×(1/2)+4=3,则点N坐标为(1/2,3);
②不存在.
理由如下:如图1,
图1
∵ M(1/2,9/2),N(1/2,3).
MN=9/2﹣3=3/2,
设P点坐标为(m,﹣2m+4),则D(m,﹣2m^2+2m+4),
∴PD=﹣2m^2+2m+4﹣(﹣2m+4)=﹣2m^2+4m,
∵PD∥MN,
当PD=MN时,四边形MNPD为平行四边形,即﹣2m^2+4m=3/2,解得m1=1/2(舍去),m2=3/2,此时P点坐标为(3/2,1),
∵ 点N的坐标为(1/2,3),则
∴PN≠MN,
∴平行四边形MNPD不为菱形,
∴不存在点P,使四边形MNPD为菱形;
(2)存在.
如图2,
图2
∵ OB=4,OA=2,则AB=2√5,
当P点的横坐标为1时,将x=1代入直线AB的表达式,可得y=﹣2x+4=2,则P(1,2),
∴PB=√5,
因为抛物线经过点B(0,4),所以可设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+4,
把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=﹣2a﹣2,
∴抛物线的解析式为y=ax^2﹣2(a+1)x+4,
当x=1时,y=a﹣2a﹣2+4=2﹣a,则D(1,2-a),
∴PD=2﹣a﹣2=﹣a,
∵DC∥OB,
∴∠DPB=∠OBA,
∴当PD/BO=PB/BA时,△PDB∽△BOA,即-a/4=√5/2√5,解得a=﹣2,此时抛物线解析式为y=﹣2x^2+2x+4;
当PD/BA=PB/BO时,△PDB∽△BAO,即-a/2√5=√5/4,解得a=﹣5/2,此时抛物线解析式为y=(-5/2)x^2+3x+4;
综上所述,满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x^2+2x+4或y=(-5/2)x^2+3x+4.