如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.
（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x^2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
解：（1）①将抛物线的函数表达式通过配方变换为顶点式：
∴顶点为M的坐标为(1/2，9/2)，
当x=1/2时，y=﹣2×(1/2)+4=3，则点N坐标为(1/2，3)；
②不存在．
理由如下：如图1，
图1
∵ M(1/2，9/2)，N(1/2，3).
MN=9/2﹣3=3/2，
设P点坐标为(m，﹣2m+4)，则D(m，﹣2m^2+2m+4)，
∴PD=﹣2m^2+2m+4﹣(﹣2m+4)=﹣2m^2+4m，
∵PD∥MN，
当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m^2+4m=3/2，解得m1=1/2（舍去），m2=3/2，此时P点坐标为（3/2，1），
∵ 点N的坐标为(1/2，3)，则
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不为菱形，
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）存在．
如图2，
图2
∵ OB=4，OA=2，则AB=2√5，
当P点的横坐标为1时，将x＝1代入直线AB的表达式，可得y=﹣2x+4=2，则P(1，2)，
∴PB=√5，
因为抛物线经过点B(0，4)，所以可设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+4，
把A（2，0）代入得4a+2b+4=0，解得b=﹣2a﹣2，
∴抛物线的解析式为y=ax^2﹣2(a+1)x+4，
当x=1时，y=a﹣2a﹣2+4=2﹣a，则D(1，2-a)，
∴PD=2﹣a﹣2=﹣a，
∵DC∥OB，
∴∠DPB=∠OBA，
∴当PD/BO=PB/BA时，△PDB∽△BOA，即-a/4=√5/2√5，解得a=﹣2，此时抛物线解析式为y=﹣2x^2+2x+4；
当PD/BA=PB/BO时，△PDB∽△BAO，即-a/2√5=√5/4，解得a=﹣5/2，此时抛物线解析式为y=(-5/2)x^2+3x+4；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x^2+2x+4或y=(-5/2)x^2+3x+4.
