三角形的角平分线、中线和高有着许多性质。现在证明如下几条性质。
1.角平分线性质
如图1所示，在ABC中，若AD为∠BAC的角平分线，则有AB：AC=BD:CD，反之也成立。
图1
图2
证明：过点B作BH//AC，且与AD的延长线交于点H，如图2所示。易知，∠CAD=∠H
∵HBD∽ACD
∴HB：AC =BD：CD
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD，又∠CAD=∠H
∴∠BAD=∠H
∴AB=HB
∴AB：AC =BD：CD
反过来，若AB：AC =BD：CD，又由HBD∽ACD，得HB：AC =BD：CD，所以AB=HB，则∠BAD=∠H，又∠CAD=∠H，所以∠BAD=∠CAD，即AD为∠BAC的角平分线。
2.中线性质
如图3所示，在ABC中，若AD为BC边上的中线，则有BD：CD=1：1，反之也成立。
图3
结论显然，证明从略。
3.高的性质
如图4所示，在ABC中， BC，AC，AB对应的长分别为a，b，c，又设∠A为ABC的最大角。若AD为ABC中BC边上的高，则有BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c），反之也成立。
图4
证明：设CD=x，则BD=a-x，在RtABD和RtACD中由勾股定理得，AD= c-(a-x)，AD= b-x，则有c-(a-x)=b-x，
解得，x=（b+a-c）/2a，a-x=（c+a-b）/2a。
∴BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c）
反之，现已知BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c），要证AD为ABC中 BC边上的高。
事实上，若AD不是BC边上的高，则可过点A作AD⊥BC，如图5所示。这时AD一定在ABC的内部，因为∠A为ABC的最大角，最大角所对的边上的高一定在三角形的内部（这点可用反证法证明）。
图5
由刚才的证明可知，BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c），所以易知，D与D两点是重合的，又由两点只能确定一条直线可知，AD即为AD，所以AD为ABC上的高。
注意：(i)若在钝角三角形中，∠A不是ABC的最大角时，则作BC边上的高会在BC的延长线上，如图6所示。此时，BD：CD=（b-a-c）：（b+a-c）。
图6
(ii)若在直角三角形中，∠B=90°，则过点A作BC边上的高AD时，AD会与AB重合，此时BD=0，易验证是符合BD：CD=（c+a-b）：（b+a-c）或者BD：CD=（b-a-c）：（b+a-c），因为在以∠B为直角的直角三角形中，b=a+c。
