锐角三角函数是中初中数学的重要内容之一，三角函数最本质的数学问题就是角与线段架起桥梁；而角是圆的主要元素之一．这样三角函数与圆有了无缝的对接，也使得它们在中考试题中也有了完美的遇见．在一些数学题中，看似与圆毫无关系且用常规的解题方法却不好甚至无法解决的问题，而通过题中的某些条件构造辅助圆，运用圆的知识进行解答，往往就会使题目简单化，从而使难题迎刃而解．下面来探析一下如何巧用辅助圆以及锐角三角函数妙解几何题的思维策略．
例1．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为____，点O到AB的距离的最大值为_____-．
【分析】当∠ABO＝90°时，点O到顶点A的距离的最大，则△ABC是等腰直角三角形，据此即可求解；点O到AB的距离的最大值＝10的一半+腰长5的等腰直角三角形底边上的高，依此列式计算即可求解．
【解答】如图，作AD⊥OB于D．∵在Rt△ADO和Rt△ABD中，∠ADO＝∠ADB＝90°，AD=AO sin∠AOB=AB sin∠ABO，∠AOB＝45°，∴AB/ sin45° =AO/sin∠ABO，∴当∠ABO＝90°时，点O到顶点A的距离的最大．则OA＝√2AB＝10√2．点O到AB的距离的最大值为5+5√2．故答案是：10√2，5+5√2．
【点评】本题主要考查了正弦定理与余弦定理、等腰直角三角形的性质，正确确定点O到顶点A的距离的最大的条件是解题关键．
例2.如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝6﹣2√3，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为______
【分析】当AP⊥BC时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，得出∠AED＝∠C＝45°，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得△AED∽△ACB，则AE/AC=ED/BC，设AD＝2x，表示出AE和AC的长，求出AE与AC的比，代入比例式中，可求出DE的值．
【解答】当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
如图1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，∴∠AEP＝∠ADP＝90°，∴∠AEP+∠ADP＝180°，
∴A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，
在Rt△PDC中，∠C＝45°，∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD＝45°，
∴△APD也是等腰直角三角形，∴∠PAD＝45°，
∴∠PED＝∠PAD＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AED＝∠C＝45°，
∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，∴AE/AC=ED/BC，
设AD＝2x，则PD＝DC＝2x，AP＝2√2x，
如图2，取AP的中点O，连接EO，则AO＝OE＝OP＝√2x，
∵∠EAP＝∠BAC﹣∠PAD＝60°﹣45°＝15°，∴∠EOP＝2∠EAO＝30°，
【点评】本题考查了四点共圆的问题，四点共圆的判定方法有：①将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆．②连接对角线，若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆；通过四点共圆可以利用同弧所对的圆周角得出角相等，从而证得三角形相似，得比例式，使问题得以解决．
例3. 已知直线y＝3/4x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D在x轴正半轴，且OD＝6，点C，M是线段OD的三等分点（点C在点M的左侧）
（1）若直线AB经过点（4，6）
①求直线AB的解析式；
②求点M到直线AB的距离；
（2）若点Q在x轴上方的直线AB上，且∠CQD是锐角，试探究：在直线AB上是否存在符合条件的点Q，使得sin∠CQD＝4/5？若存在，求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
②根据相似三角形对应边成比例求得即可．
（2）作CE⊥CD，且CE＝3，因为CD＝4，根据勾股定理得出DE＝5，所以sin∠CED＝4/5，如果AB与x轴上方的优弧相交，交点为Q，根据同弧所对的圆周角相等，则∠CQD＝∠CED，则sin∠CQD＝4/5，当AB经过E点时，点E即为Q点，根据三角形相似求得OB的值为3/2，即可求得b的取值．
【解答】（1）①∵直线AB经过点（4，6），
∴6＝3/4×4+b，则b＝3，∴直线AB的解析式为y＝3/4x+3．
②如图1，设点M到直线AB的距离为MN，
由直线AB的解析式为y＝3/4x+3可知A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，
∵OD＝6，点C，M是线段OD的三等分点，∴AM＝4+4＝8，
∵∠BAO＝∠MAN，∠AOB＝∠ANM＝90°，∴△AOB∽△ANM，
∴MN/OB=AM/AB，∴MN＝AM··OB/AB=8×3/5=24/5．
（2）存在；在CD的垂直平分线上取点I（4，1.5）
以I为圆心，ID为半径作圆，则⊙I必过点C，
在Rt△MID中，由勾股定理，得：ID＝2.5，sin∠MID＝MD/ID=4/5，
当直线AB与⊙I相切（切点在第一象限）时，直线AB上存在唯一一个符合条件的点Q（切点），使得sin∠CQD＝4/5（∠CQD＝∠MID），此时设CD的垂直平分线交直线AB于点N，
在直线y＝3/4x+b中，令y＝0，则x＝﹣4/3b，∴OA＝4/3|b|，令x＝0，则y＝b，∴OB＝|b|，由勾股定理，得：AB＝5/3|b|．
∵∠QNI＝ABO，∠IQN＝∠AOB＝90°，∴△IQN∽△AOB，
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，三角形相似的判定和三角函数等，（2）作出直角三角形CDE和三角形的外接圆是解题的关键．根据题干中条件画出辅助圆，圆的性质:圆心必在线段CD的垂直平分线上是解答本题关键，可见构建辅助圆对题目的综合分析起了很大的作用．其中需要特别注意的是，圆有两个．
解题反思：在解答几何问题时，如若发现运用常规方法不能解决问题或是解决过程比较繁琐，此时可以通过仔细审题，挖掘题干中与圆有联系的条件(特别是线段与张角问题)，从而做出构造辅助圆进行分析解题，这样可使解题柳暗花明，另辟蹊径，化难为易，令问题的解答耳目一新，这样构建辅助圆的关键就是善于捕捉题干的细节之处，要在平时的学习中勤总结，多揣摩，不难做到遇到类似情况可尝试应用．
