米勒（Johannes Miiller 1436——1476）德国数学家，对三角做出了巨大贡献。是欧洲最有影响的数学家之一。米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作。
米勒提出了一个有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题。
这一问题更一般的描述是：已知，点A、B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。人们称这一命题为米勒定理！
探索：点C在运动的过程中，∠ACB的大小在不断发生变化。实践证明，当△ABC的外接圆与ON相切时，切点C使得∠ACB最大。
如何作出点C的位置？
定理的证明
最大视角问题在各类数学竞赛、历届高考和模拟卷考试中频频亮相，我们安徽9年级数学课本圆的最后一节综合与实践，就涉及到这一问题，各类高中考题常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查，但近年来为了体现初高中数学知识衔接，初中各类考试中也涉及到这一模型应用，解题时如果我们若能从题设中挖掘其中隐含的米勒模型，将会使问题顺利解决，举例说明如下。
例3.问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是_______；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是______．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2√2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
【解析】（1）如图①中，∵∠APQ＝1/2∠AOB＝45°，∴点P在⊙O上，
∵∠AQB＜45°，∴点Q在⊙O外．故答案为点P在⊙O上，点Q在⊙O外．
（2）如图2中，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．延长DO交BC于H，
∵∠DAB＝135°，∠DAO＝45°，∴∠OAB＝∠B＝90°，
∴OA∥BC，∴∠DOA＝∠OHB＝90°，
∴四边形ABHO是矩形，∴AB＝OH＝1，OA＝BH，
∵AD＝2√2，∴OA＝OD＝OP＝OP′＝2，
在Rt△OPH和Rt△OP′H中，
由勾股定理易知HP＝HP′＝√3，∴BH＝OA＝2，∴BP′＝2﹣√3，PB＝2+√3．
（3）如图③中，存在．
作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，理由：在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交⊙O于N，连接AN．
∵∠AND＞∠AMD，∠APD＝∠AND，∴∠APD＞∠AND，
连接OP，延长DA交CB的延长线于点G．
∵AB⊥BC，∠DAB＝135°，∴∠G＝∠EFG＝45°，
∴△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，
例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．
【解析】（1）①如图1中，在x轴的上方，作以AB为斜边的直角三角形△ACB，易知A、B、P三点在⊙C上，圆心C的坐标为（4，3），半径为3√2，
根据对称性可知点C（4，﹣3）也满足条件．
②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点“．如图2所示：当圆心为C（4，3）时，过点C作CD⊥y轴于D，则D（0，3），CD＝4
∵⊙C的半径r＝3√2＞4，∴⊙C与y轴相交，
设交点为P、P，此时P、P在y轴的正半轴上
（2）由米勒模型可知，当过点A，B的圆与y轴正半轴相切于点P时，∠APB最大．
理由如下：如果点P在y轴的正半轴上，设此时圆心为E，则E在第一象限，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，PA，PB，设MB交于⊙E于点N，连接NA，
∵点P，点N在⊙E上，∴∠APB＝∠ANB，
∵∠ANB是△MAN的外角，∴∠ANB＞∠AMB，即∠APB＞∠AMB，
此时，过点E作EF⊥x轴于F，连接EA，EP，则AF＝1/2AB＝3，OF＝4，
∵⊙E与y轴相切于点P，则EP⊥y轴，
∴四边形OPEF是矩形，OP＝EF，PE＝OF＝4．∴⊙E的半径为4，即EA＝4，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理可求得EF＝√7，∴OP＝√7，即 P（0，√7）．
