进入中考总复习后，一直都在思考一个问题，如何高效的复习？如何针对中考的特点选题复习？确保大众学生熟练基本知识，基本技能，又让优生能力有所提升，培优磨尖。如何把握这个度？
本文着重讲解几何解题中的隐圆问题。特别是动态背景下，如果能考虑或者发散到添加辅助圆，那么题目的思路就宽了，解题明朗，所谓的捷径就来了。实际考题，题目是一个无圆的背景状态，也即学生常常疑惑的，圆都去哪儿了，所以必须先确定或者说具备的思维是如何找到隐圆。其实隐圆思维的真正联想还是来自于圆的性质或定义。常见的有如下几种情况：
类型1 利用旋转的观点，以旋转中心为圆心，旋转的线段长度为半径构造出圆
例1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是______．
【分析】不管点F如何运动，点E是定点，B绕点E旋转，故可以画出以E为圆心，EB为半径的隐圆，如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E＝BE＝2，即可求出B′D．
【解答】如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，∴EB′＝EB，
∵E是AB边的中点，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，
类型2 利用圆的定义，出现或具备定点和定长构造出圆
例2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6．
（I）如图①，将线段CA绕点C顺时针旋转30°，所得到与AB交于点M，则CM的长＝______；
（II）如图②，点D是边AC上一点D且AD＝2√3，将线段AD绕点A旋转，得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段AD绕点A逆时针旋转______度时，线段CF的长最大，最大值为_____．
【分析】（1）根据旋转的性质及等腰三角形、等边三角形的性质求解．
（2）取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以EF＝1/2AD，因为EC+EF≥CF，所以CF最大值＝EC+EF＝6+√3，此题由中点及AB定长联想到中位线，而中位线是定长，一定点，一动点，因此根据圆的定义构造隐圆，从而充分解题。当然也可以考虑三边关系来求最值。
【解答】（Ⅰ）如下图①所示：∵将线段CA绕点C顺时针旋转30°，
∴△AMC 为等腰三角形，AM＝MC
∵∠BAC＝30°，∴△MBC为等边三角形，∴AM＝MB＝CM
又∵BC＝6，∴AB＝2BC＝12，∴CM＝6故答案为：6
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6，∴AB＝12，
类型3联想直径所对的圆周角是90°，以斜边为直径，中点为圆心构造圆例3．
例3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，P是矩形内部一动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP的最小值是_______．
【分析】可证明出∠APB为直角，联想直径所对的圆周角为90°，构造以AB为直径的隐圆，将问题转化成圆外一点到圆上动点的最值问题。或联想弦切角等于所夹弧所对的圆周角模型，存在一隐藏的圆。
首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝5，OB＝4，
类型4 四点共圆，构造圆。
例4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）经过点（a，√3a）（a＞0），线段BC的两个端点分别在x轴与直线y＝kx上（点B、C均与原点O不重合）滑动，且BC＝2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y＝kx，交点为P．经探究，在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值______．
【分析】可先求得k的值，可得∠BOC＝60°，再由条件可知O、B、P、C四点共圆，OP为直径，设圆心为D，分别连接CD和BD，过D作DE⊥BC于点E，由垂径定理可求得BE，用可知∠BDE＝60°，在Rt△BDE中可求得BD的长，从而可求得直径．
这是一个典型的两90°对角组成的四边形，易证点O、C、P、D四点共圆，所以构造过四点的隐圆（以OP为直径），通过分析隐圆上的相关数量关系，结合正比例函数经过点的特殊性，与x轴夹角为60°，将PO的距离转化为隐圆的直径来求解。
【解答】∵直线y＝kx（k≠0）经过点（a， a）（a＞0），
∴√3a＝ka，∴k＝√3，∴∠BOC＝60°，
又由题意可知∠PCO＝∠PBO＝90°，∴∠PCO+∠PBO＝180°，
∴O、B、P、C四点共圆，OP为直径，
如图，设圆心为D，分别连接CD和BD，过D作DE⊥BC于点E，
则BE＝1/2BC＝1，∵∠BDC＝2∠BOC＝120°，∴∠BDE＝60°，∴DE＝1/2BD，
反思：四点共圆是隐圆问题的中常见类型,除了对角互补四点共圆模型外，还有如下的四点共圆模型。
类型5 借助两圆一线模型，构造圆计中垂线，判定等腰三角形存在性
例5．如图1．已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ、BQ，设AP＝x．
（1）BQ+DQ的最小值是______．此时x的值是______．
（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD＝90°．
①求证：点E是CD的中点；②求x的值．
（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．
【解析】（1）BQ+DQ为点B到D两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为√2．考虑动点运动，这种情形是存在的，由AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．又PDQ＝45°，所以PD=√2PQ，即1﹣x＝√2 x．求解可得x＝√2-1．
（2）由已知条件对称分析，AB＝BQ＝BC，则∠BCQ＝∠BQC，由∠BQE＝∠BCE＝90°，可得∠EQC＝∠ECQ．那么若有QE＝ED，则结论可证．再分析新条件∠CQD＝90°，易得①结论．求x，通常都是考虑勾股定理，选择直角三角形PDE，发现PE，DE，PD都可用x来表示，进而易得方程，∴DE＝QE＝CE＝1/2，∴PE＝PQ+QE＝x+1/2，∴(x+1/2) =(1-x) +(1/2) ，解得 x＝1/3．
（3）联想“两圆一线“模型，若△CDQ为等腰三角形，则边CD比为改等腰三角形的一腰或者底边．又Q点为A点关于PB的对称点，则AB＝QB，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，则Q点只能在弧AB上．若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为腰）的Q点．若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为底）的Q点．则如图所示共有三个Q点，那么也共有3个P点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可．
（3）答：△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣√3，√3/3，2+√3．
【点评】本题第一问非常基础，难度较低．第二问因为动点的原因，思路不易找到，这里就需要做题时充分分析已知条件，尤其是新给出的条件．其中求边长是勾股定理的重要应用，是很重要的考点．第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q找全．另外求解各个P点也是考察三角函数及勾股定理的综合应用，有着极高的难度．
牛刀小试
1．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为_____．
【解析】利用∠PCA＝∠PBC得∠PBC+∠PCB＝90°，则∠BPC＝90°，根据圆周角定理的推论可判定点P在以BC为直角的⊙O上，连接OA交⊙O于P，此时PA的长最小，然后利用勾股定理计算出OA即可得到PA长的最小值．
故答案为4．
2．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是_______；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
【解析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1＝∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE＝90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4＝∠HBC，即可判断出CH＝BC，最后根据AB＝BC，判断出CH＝AB即可．
（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1＝∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE＝90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4＝∠HBC，即可判断出CH＝BC，最后根据AB＝BC，判断出CH＝AB即可．
（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；
然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK＝DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK＝CH＝AB；最后根据CK＝AC+AK＝AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．线段CK长的最大值是3√2+3．
