进入中考总复习后,一直都在思考一个问题,如何高效的复习?如何针对中考的特点选题复习?确保大众学生熟练基本知识,基本技能,又让优生能力有所提升,培优磨尖。如何把握这个度?
本文着重讲解几何解题中的隐圆问题。特别是动态背景下,如果能考虑或者发散到添加辅助圆,那么题目的思路就宽了,解题明朗,所谓的捷径就来了。实际考题,题目是一个无圆的背景状态,也即学生常常疑惑的,圆都去哪儿了,所以必须先确定或者说具备的思维是如何找到隐圆。其实隐圆思维的真正联想还是来自于圆的性质或定义。常见的有如下几种情况:
类型1 利用旋转的观点,以旋转中心为圆心,旋转的线段长度为半径构造出圆
例1.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是______.
【分析】不管点F如何运动,点E是定点,B绕点E旋转,故可以画出以E为圆心,EB为半径的隐圆,如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动,当D、B′、E共线时时,此时B′D的值最小,根据勾股定理求出DE,根据折叠的性质可知B′E=BE=2,即可求出B′D.
【解答】如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动,当D、B′、E共线时时,此时B′D的值最小,
根据折叠的性质,△EBF≌△EB′F,
∴EB′⊥B′F,∴EB′=EB,
∵E是AB边的中点,AB=4,∴AE=EB′=2,
类型2 利用圆的定义,出现或具备定点和定长构造出圆
例2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=6.
(I)如图①,将线段CA绕点C顺时针旋转30°,所得到与AB交于点M,则CM的长=______;
(II)如图②,点D是边AC上一点D且AD=2√3,将线段AD绕点A旋转,得线段AD′,点F始终为BD′的中点,则将线段AD绕点A逆时针旋转______度时,线段CF的长最大,最大值为_____.
【分析】(1)根据旋转的性质及等腰三角形、等边三角形的性质求解.
(2)取AB的中点E,连接EF、EC,EF是中位线,所以EF=1/2AD,因为EC+EF≥CF,所以CF最大值=EC+EF=6+√3,此题由中点及AB定长联想到中位线,而中位线是定长,一定点,一动点,因此根据圆的定义构造隐圆,从而充分解题。当然也可以考虑三边关系来求最值。
【解答】(Ⅰ)如下图①所示:∵将线段CA绕点C顺时针旋转30°,
∴△AMC 为等腰三角形,AM=MC
∵∠BAC=30°,∴△MBC为等边三角形,∴AM=MB=CM
又∵BC=6,∴AB=2BC=12,∴CM=6故答案为:6
(2)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=6,∴AB=12,
类型3联想直径所对的圆周角是90°,以斜边为直径,中点为圆心构造圆例3.
例3.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=5,P是矩形内部一动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP的最小值是_______.
【分析】可证明出∠APB为直角,联想直径所对的圆周角为90°,构造以AB为直径的隐圆,将问题转化成圆外一点到圆上动点的最值问题。或联想弦切角等于所夹弧所对的圆周角模型,存在一隐藏的圆。
首先证明点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC与⊙O交于点P,此时PC最小,利用勾股定理求出OC即可解决问题.
【解答】∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,
∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,
∴OP=OA=OB(直角三角形斜边中线等于斜边一半),
∴点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC交⊙O于点P,此时PC最小,
∵在矩形ABCD中,AB=8,BC=5,
在RT△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=5,OB=4,
类型4 四点共圆,构造圆。
例4.如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k≠0)经过点(a,√3a)(a>0),线段BC的两个端点分别在x轴与直线y=kx上(点B、C均与原点O不重合)滑动,且BC=2,分别作BP⊥x轴,CP⊥直线y=kx,交点为P.经探究,在整个滑动过程中,P、O两点间的距离为定值______.
【分析】可先求得k的值,可得∠BOC=60°,再由条件可知O、B、P、C四点共圆,OP为直径,设圆心为D,分别连接CD和BD,过D作DE⊥BC于点E,由垂径定理可求得BE,用可知∠BDE=60°,在Rt△BDE中可求得BD的长,从而可求得直径.
这是一个典型的两90°对角组成的四边形,易证点O、C、P、D四点共圆,所以构造过四点的隐圆(以OP为直径),通过分析隐圆上的相关数量关系,结合正比例函数经过点的特殊性,与x轴夹角为60°,将PO的距离转化为隐圆的直径来求解。
【解答】∵直线y=kx(k≠0)经过点(a, a)(a>0),
∴√3a=ka,∴k=√3,∴∠BOC=60°,
又由题意可知∠PCO=∠PBO=90°,∴∠PCO+∠PBO=180°,
∴O、B、P、C四点共圆,OP为直径,
如图,设圆心为D,分别连接CD和BD,过D作DE⊥BC于点E,
则BE=1/2BC=1,∵∠BDC=2∠BOC=120°,∴∠BDE=60°,∴DE=1/2BD,
反思:四点共圆是隐圆问题的中常见类型,除了对角互补四点共圆模型外,还有如下的四点共圆模型。
类型5 借助两圆一线模型,构造圆计中垂线,判定等腰三角形存在性
例5.如图1.已知正方形ABCD的边长为1,点P是AD边上的一个动点,点A关于直线BP的对称点是点Q,连结PQ、DQ、CQ、BQ,设AP=x.
(1)BQ+DQ的最小值是______.此时x的值是______.
(2)如图2,若PQ的延长线交CD边于点E,并且∠CQD=90°.
①求证:点E是CD的中点;②求x的值.
(3)若点P是射线AD上的一个动点,请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值.
【解析】(1)BQ+DQ为点B到D两段折线的和.由两点间线段最短可知,连接DB,若Q点落在BD上,此时和最短,且为√2.考虑动点运动,这种情形是存在的,由AP=x,则PD=1﹣x,PQ=x.又PDQ=45°,所以PD=√2PQ,即1﹣x=√2 x.求解可得x=√2-1.
(2)由已知条件对称分析,AB=BQ=BC,则∠BCQ=∠BQC,由∠BQE=∠BCE=90°,可得∠EQC=∠ECQ.那么若有QE=ED,则结论可证.再分析新条件∠CQD=90°,易得①结论.求x,通常都是考虑勾股定理,选择直角三角形PDE,发现PE,DE,PD都可用x来表示,进而易得方程,∴DE=QE=CE=1/2,∴PE=PQ+QE=x+1/2,∴(x+1/2) =(1-x) +(1/2) ,解得 x=1/3.
(3)联想“两圆一线“模型,若△CDQ为等腰三角形,则边CD比为改等腰三角形的一腰或者底边.又Q点为A点关于PB的对称点,则AB=QB,以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,则Q点只能在弧AB上.若CD为腰,以点C为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形(CD为腰)的Q点.若CD为底边,则作CD的垂直平分线,其与弧AC的交点即为使得△CDQ为等腰三角形(CD为底)的Q点.则如图所示共有三个Q点,那么也共有3个P点.作辅助线,利用直角三角形性质求之即可.
(3)答:△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣√3,√3/3,2+√3.
【点评】本题第一问非常基础,难度较低.第二问因为动点的原因,思路不易找到,这里就需要做题时充分分析已知条件,尤其是新给出的条件.其中求边长是勾股定理的重要应用,是很重要的考点.第三问是一个难度非常高的题目,可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q找全.另外求解各个P点也是考察三角函数及勾股定理的综合应用,有着极高的难度.
牛刀小试
1.如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=8,BC=12,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PCA=∠PBC,则线段AP长的最小值为_____.
【解析】利用∠PCA=∠PBC得∠PBC+∠PCB=90°,则∠BPC=90°,根据圆周角定理的推论可判定点P在以BC为直角的⊙O上,连接OA交⊙O于P,此时PA的长最小,然后利用勾股定理计算出OA即可得到PA长的最小值.
故答案为4.
2.正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动,且DE=DF.连接BF,作EH⊥BF所在直线于点H,连接CH.
(1)如图1,若点E是DC的中点,CH与AB之间的数量关系是_______;
(2)如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时,(1)中的结论是否成立?若成立给出证明;若不成立,说明理由;
(3)如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时,连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.
【解析】(1)首先根据全等三角形判定的方法,判断出△ABF≌△CBE,即可判断出∠1=∠2;然后根据EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H两点都在以BE为直径的圆上,判断出∠4=∠HBC,即可判断出CH=BC,最后根据AB=BC,判断出CH=AB即可.
(2)首先根据全等三角形判定的方法,判断出△ABF≌△CBE,即可判断出∠1=∠2;然后根据EH⊥BF,∠BCE=90°,可得C、H两点都在以BE为直径的圆上,判断出∠4=∠HBC,即可判断出CH=BC,最后根据AB=BC,判断出CH=AB即可.
(3)首先根据三角形三边的关系,可得CK<AC+AK,据此判断出当C、A、K三点共线时,CK的长最大;
然后根据全等三角形判定的方法,判断出△DFK≌△DEH,即可判断出DK=DH,再根据全等三角形判定的方法,判断出△DAK≌△DCH,即可判断出AK=CH=AB;最后根据CK=AC+AK=AC+AB,求出线段CK长的最大值是多少即可.线段CK长的最大值是3√2+3.