例题:已知四边形ABCD中，E,F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G.
问题发现
(1)如图1,若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF于G,AB=m,AD=n.
填空:①DE:CF=()；
②当矩形ABCD是正方形时，DE:CF=()；
拓展探究
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形，试探究，当∠B与∠EGC满足什么关系时，DE:CF=AD:CD成立？并证明你的结论；
解决问题
(3)如图3，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF于G,请直接写出DE:CF的值.
解析:(1)①n/m,②1.
由题四边形ABCD是矩形，DE⊥CF,
∴∠ADE=∠DCF,
∠EAD=∠FDC=90°
∴Rt△AED∽Rt△DFC(直角三角形相似的判定),
∴DE:CF=AD:CD=n:m.
当四边形为正方形时，
DE:CF=n:m=1.
(2)当∠B+∠EGC=180°时，DE:CF=AD:CD成立.
证明:如图，在AD的延长线上取点M,连接CM，使CM=CF,
则，∠CMD=∠CFM，
∵AB∥CD,
∠A=∠CDM，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠BEG+∠FCB=180°，
∵∠BEG+∠AED=180°，
∴∠AED=∠FCB.
∵∠CFM=∠FCB(平行线的性质)，
∴∠CMD=∠AED，
∴△ADE∽△DCM，
∴DE:CM=AD:DC，
∴DE:CF=AD:CD.
(3)DE:CF=25:24.
分析:如图，连接BD，作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB的延长线于M,
设CN=x,
∵∠BAD=90°，∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN为矩形,
△BAD≌△BCD(SSS，不难证明自己思考一下).
△BCM∽△DCN,
∴CM:CN=BC:CD，
∴CM=(3/4)x.
由勾股定理BM^2+CM^2=BC^2得
x=192/25，
由△AED∽△NFC，得DE:CF=AD:CN=25/24.
附:3月11日比例线段应用参考答案
解析:由题，AE⊥BD，∠BAD=90°，∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA.
AB^2=BE·BD,
∵ED=3BE,
∴BE=3/2，
AE=3√3/2.
如图，作A点关于直线BD的对称点A,连接AD,PA，
AA=2AE=3√3，
∠BAE=30°(易证，因为30°所对的直角边等于斜边的一半)，∴∠AAQ=30°，
∴AQ=AAcos30°=3√3×√3/2=9/2.
即PA+PQ=9/2.
