第29讲 相似三角形及其应用
考点分析
1、相似三角形的应用
证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等
2、相似三角形在实际问题中的运用
(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；
(2)测量底部可以达到的物体的高度；
(3)测量底部不可以达到的物体的高度；
(4)测量不可以达到的河的宽度．
思想方法
1.建模思想：相似三角形在实际生活中应用广泛，故建立相似三角形模型解决问题；
2．分类讨论：由于三角形相似的对应关系不明确，常常分情况讨论．
真题精选
例题精讲
类型一利用相似解决实际生活问题
例题1、（泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为多少步．
例题2、（重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，故选：C．
类型二利用相似测量物体的高(长)度
【解后感悟】考查相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
类型三相似三角形中一个常见的模型
【解后感悟】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；
（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
类型四与相似三角形有关的综合问题
【解后感悟】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
热点题型
专题小结
1、相似三角形是中考的必考知识之一，是全等三角形的延伸，是考试热点，也是考试的难点！
2、相似三角形的常考题型是利用相似三角形进行相关的计算，对考生综合知识能力的运用要求非常高，也是考生备考时的一个痛点。因此，备考时应重视本专题的复习，熟悉运用相似三角形的模型解决相似的应用问题。
