问题补充:
已知:二次函数y=a(x-1)2+4的图象如图所示,抛物线交y轴于点C,交x轴于A、B两点,用A点坐标为(-1,0).
(1)求a的值及点B的坐标.
(2)连接AC、BC,E是线段OC上的动点(不与O、C两点重合),过E点作直线PE⊥y轴交线段AC于点P,交线段BC于点Q.求证:=.
(3)设E点的坐标为(0,n),在线段AB上是否存在一点R,使得以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出n的值,并画出相应的示意图;若不存在,请说明理由.
答案:
(1)解:把A点坐标为(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,得a(-1-1)2+4=0,解得a=-1,
∴y=-(x-1)2+4,
令y=0,-(x-1)2+4=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴B点坐标为(3,0);
(2)证明:∵直线PE⊥y轴交线段AC于点P,交线段BC于点Q,
∴PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CAB,
∴=;
(3)解:在线段AB上存在一点R,使得以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似.理由如下
对于y=-(x-1)2+4,令x=0,y=3,
∴C点坐标为(0,3),
∴△OBC为等腰直角三角形,
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
把B(3,0),C(0,3)代入得,,
解得k=-1,b=3,
∴直线BC的解析式为:y=-x+3;
同理可得直线AC的解析式为:y=-3x+3;
∵E点的坐标为(0,n),0<n<3,
∴P点坐标为(-1,n),Q点的坐标为(3-n,n),
∴QP=3-n-(-1)=4-;
若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似,
∴以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形,
当∠PQR=90°,QR=QP,如图,
∵PQ∥AB,
∴QR⊥AB,
∴QR=OE=n,
∴n=4-,
解得n=,
∴R的坐标为(,0),
当∠QPR=90°,PQ=PR,同理可得n=,得P点坐标为(-,),则R点坐标为(-,0);
当∠PRQ=90°,RP=RQ,过R作RH⊥PQ于H,如图,
∴HR=PQ,
∴n=(4-),
解得n=,
∴P点的坐标为(-,),Q点的坐标为(,),
∴R点的坐标为(,0).
所以当n=,R的坐标为(,0)或(-,0);当n=,R点的坐标为(,0).
解析分析:(1)把A点坐标为(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,可求得a=-1,然后令y=0,得到-(x-1)2+4=0,解方程得到x1=-1,x2=3,即可得到B点坐标;
(2)由直线PE⊥y轴交线段AC于点P,交线段BC于点Q,得到PQ∥AB,则△CPQ∽△CAB,即可得到结论;
(3)利用待定系数法分别求出直线BC的解析式为:y=-x+3;直线AC的解析式为:y=-3x+3;由E点的坐标为(0,n),0<n<3,得到P点坐标为(-1,n),Q点的坐标为(3-n,n),则QP=3-n-(-1)=4-;若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似,则以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形,然后分类讨论:当∠PQR=90°,QR=QP,得到n=4-;当∠PRQ=90°,RP=RQ,过R作RH⊥PQ于H,根据HR=PQ,得到n=(4-),分别解方程可得到n的值和对应的R点的坐标.
点评:本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标的方法;也考查了利用待定系数法求直线解析式、三角形相似的判定与性质以及等腰直角三角形的性质.
已知:二次函数y=a(x-1)2+4的图象如图所示 抛物线交y轴于点C 交x轴于A B两点 用A点坐标为(-1 0).(1)求a的值及点B的坐标.(2)连接AC BC