问题补充:
已知△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,在△ADE中,若AD=AE,且∠DAE=∠BAC,求证:CD=BE;
(2)如图2,在△ADE中,若∠DAE=∠BAC=60°,且CD垂直平分AE,AD=3,CD=4,求BD的长;
(3)如图3,在△ADE中,当BD垂直平分AE于H,且∠BAC=2∠ADB时,试探究CD2,BD2,AH2之间的数量关系,并证明.
答案:
(1)如图1,证明:∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+CAE=∠BAC+CAE,
即∠DAC=BAE.
在△ACD与△ABE中,
,
∴△ACD≌△ABE(SAS),
∴CD=BE;
(2)连接BE,
∵AD=AE,∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∵CD垂直平分AE,
∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°,
∵△ABE≌△ACD,
∴BE=CD=4,∠BEA=∠CDA=30°,
∴BE⊥DE,DE=AD=3,
∴BD=5;
(3)如图,过B作BF⊥BD,且BF=AE,连接DF,
则四边形ABFE是平行四边形,
∴AB=EF,
设∠AEF=x,∠AED=y,
则∠FED=x+y,
∠BAE=180°-x,∠EAD=∠AED=y,∠BAC=2∠ADB=180°-2y,
∠CAD=360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD=360°-(180°-2y)-(180°-x)-y=x+y,
∴∠BAE=∠CAD,
在△ACD和△EFD中,
,
∴△ACD≌△EFD(SAS),
∴CD=DF,
而BD2+BF2=DF2,
∴CD2=BD2+4AH2.
解析分析:(1)求出∠DAC=BAE,再利用“边角边”证明△ACD和△ABE全等,再根据全等三角形对应边相等即可得证;
(2)连接BE,先求出△ADE是等边三角形,再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD,全等三角形对应角相等可得∠BEA=∠CDA=30°,然后求出∠BED=90°,再利用勾股定理列式进行计算即可得解;
(3)过B作BF⊥BD,且BF=AE,连接DF,先求出四边形ABFE是平行四边形,根据平行四边形对边相等可得AB=EF,设∠AEF=x,∠AED=y,根据平行四边形的邻角互补与等腰三角形的性质求出∠CAD,从而得到∠CAD=∠FED,然后利用“边角边”证明△ACD和△EFD全等,根据全等三角形对应边相等可得CD=DF,然后利用勾股定理列式计算即可得解.
点评:本题考查了勾股定理,全等三角形的判定与 性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等边三角形的判定与性质,综合性较强,难度较大,作辅助线构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键.
已知△ABC中 AB=AC.(1)如图1 在△ADE中 若AD=AE 且∠DAE=∠BAC 求证:CD=BE;(2)如图2 在△ADE中 若∠DAE=∠BAC=60°