问题补充:
已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,且对任意的实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(Ⅰ)求f(1);
(Ⅱ)若f(x)+f(2x-1)≤2,求x的取值范围.
答案:
解:(Ⅰ)∵f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=1,
∴令x=y=1得,f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=1,
解得f(1)=,
(Ⅱ)令x=y=2得,f(2+2)=f(2)+f(2)=2,即f(4)=2,
∴f(x)+f(2x-1)≤2,转化为f(x+2x-1)≤f(4),
∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,
∴x+2x-1≤4,解得x≤.
解析分析:(Ⅰ)根据所给恒等式和条件,令x=y=1可求得f(1)的值;
(Ⅱ)根据所给恒等式和条件,令x=y=2可求得f(4)=2,由恒等式和函数的单调性,可把把不等式中的符号“f”去掉,从而变为具体不等式.
点评:本题考查抽象函数单调性应用,以及赋值法求函数的值,解决抽象不等式的基本思路是:利用函数的单调性和恒等式,将不等式中的符号“f”去掉转化为具体不等式求解.
已知函数f(x)是定义在(-∞ +∞)上的增函数 且对任意的实数x y都满足f(x+y)=f(x)+f(y) f(2)=1.(Ⅰ)求f(1);(Ⅱ)若f(x)+f(2