问题补充:
如图,点A为⊙O直径CB延长线上一点,过点A作⊙O的切线AD,切点为D,过点D作DE⊥AC,垂足为F,连接BE、CD、CE,已知∠BED=30°.
(1)求tanA的值;
(2)若AB=2,试求CE的长.
(3)在(2)的条件下,求图中阴影部分的面积.
答案:
解:(1)连接OD,
∵DA为⊙O的切线,切点为D,
∴OD⊥AD,∠ADO=90°,
又∵∠BED=30°,
∴∠BOD=60°,
∴∠A=30°,
∴tanA=.
(2)过点O作OG⊥EC于点G
∴,
得R=2,
∴OC=2,
∵DE⊥AC,BC为直径,
∴弧BE=弧BD,
∴∠ECB=∠BED=30°,
∴CE=2CG=2?OCcos30°=.
(3)∵由(1)∠BOD=60°得∠ODF=30°,
∴OF=OD=OB,即OF=FB,
由DE⊥AC,BC为直径,
得EF=FD,∠OFD=∠BFE=90°,
∴△BEF≌△ODF,
∴阴影部分面积等于扇形BOD的面积=.
解析分析:(1)连接OD,根据切线的性质,∠ADO=90°,从而易证∠BOD=60°,所以∠A是特殊角等于30°,所以sinA=.
(2)求弦长,要作弦的弦心距,构造直角三角形,并利用(1)的结论,求出圆的半径,从而求出弦长.
(3)通过证明△BEF≌△ODF,将阴影部分不规则图形的面积转化为规则图形的面积,也就是扇形BOD的面积.
点评:本题考查了圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
如图 点A为⊙O直径CB延长线上一点 过点A作⊙O的切线AD 切点为D 过点D作DE⊥AC 垂足为F 连接BE CD CE 已知∠BED=30°.(1)求tanA的值