问题补充:
如图①,在正方形ABCD中,E为CD上一动点,连接AE交对角线BD于点F,过点F作FG⊥AE交BC于点G.
(1)求证:AF=FG;
(2)如图②,连接EG,当BG=3,DE=2时,求EG的长.
答案:
(1)证明:如图①,连接CF,
在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABF=∠CBF=45°,
在△ABF和△CBF中,,
∴△ABF≌△CBF(SAS),
∴AF=CF,∠BAF=∠BCF,
∵FG⊥AE,
∴在四边形ABGF中,∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°,
又∵∠BGF+∠CGF=180°,
∴∠BAF=∠CGF,
∴∠CGF=∠BCF,
∴CF=FG,
∴AF=FG;
(2)如图②,把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH,则AH=AE,BH=DE,∠BAH=∠DAE,
∵AF=FG,FG⊥AE,
∴△AFG是等腰直角三角形,
∴∠EAG=45°,
∴∠HAG=∠BAG+∠DAE=90°-45°=45°,
∴∠EAG=∠HAG,
在△AHG和△AEG中,,
∴△AHG≌△AEG(SAS),
∴HG=EG,
∵HG=BH+BG=DE+BG=2+3=5,
∴EG=5.
解析分析:(1)连接CF,根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABF=∠CBF=45°,然后利用“边角边”证明△ABF和△CBF全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=CF,全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠BCF,再根据四边形的内角和定理与平角的定义求出∠BAF=∠CGF,然后求出∠CGF=∠BCF,根据等角对等边可得CF=FG,从而得证;
(2)把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH,根据旋转的性质可得AH=AE,BH=DE,∠BAH=∠DAE,然后求出∠EAG=∠HAG,再利用“边角边”证明△AHG和△AEG全等,根据全等三角形对应边相等可得HG=EG,然后代入数据进行计算即可得解.
点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,综合题,但难度不大,作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形是解题的关键.
如图① 在正方形ABCD中 E为CD上一动点 连接AE交对角线BD于点F 过点F作FG⊥AE交BC于点G.(1)求证:AF=FG;(2)如图② 连接EG 当BG=3