问题补充:
如图,AB是⊙O的直径,弦AC与AB成30°的角,CD与⊙O相切于C,交AB的延长线于D.求证:AC=CD.
答案:
证明:如右图所示,连接BC,
∵CD是切线,
∴∠DCB=∠A=30°,
又∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-30°=60°,
∴∠CDB=∠ABC-∠DCB=60°-30°=30°.
∴∠A=∠CDB,
∴AC=CD.
解析分析:先连接BC,由于CD是切线,利用弦切角定理可得∠DCB=∠A=30°,而AB是直径,易知∠ACB=90°,利用三角形内角和定理易求∠ABC,再利用三角形外角性质易求∠CDB,从而有∠A=∠CDB,即可证∠A=∠CDB.
点评:本题考查了切线性质、圆周角定理.解题的关键是连接BC,构造直角三角形,并证明∠A=∠CDB.