问题补充:
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-,]上的减函数.
(1)求a的值;
(2)若g(x)≤t2+λt+1在[-1,1]上恒成立,求实数t的取值范围.
答案:
解:(1)因为函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,
所以f(-0)=-f(0)即f(0)=0,
即ln(e0+a)=0,解得a=0,
显然a=0时,f(x)=x是实数集R上的奇函数.
(2)由(1)得f(x)=x,
所以g(x)=λx+sinx,所以g(x)=λ+cosx,
因为函数g(x)是区间[-,]上的减函数,
所以g(x)=λ+cosx≤0? 在[-,]上恒成立,
∴λ≤-1,并且在[-1,1]上g(x)max=g(-1 )=-λ-sin1
所以只需-λ-sin1≤t2+λt+1,
所以(t+1)λ+t2+1+sin1≥0在λ∈(-∞,-1]上恒成立.
令h(λ)=(t+)λ+t2,(λ≤-1)
则有 (t+1)≤0,t2+1+sin1≥0,解得t≤-1.
解析分析:(1)根据题意可得:f(-0)=-f(0)即f(0)=0,解得a=0.(2)由题意可得:g(x)=λx+sinx,所以g(x)=λ+cosx,由函数的单调性转化为:g(x)=λ+cosx≤0? 在[-,]上恒成立,进而得到λ≤-1,并且g(x)max=g(-)=-λ-1,再转化为(t+)λ+t2+2≥0在λ∈(-∞,-1]上恒成立.把λ看为自变量利用一次函数的性质解决问题即可得到
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数 函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[- ]上的减函数.(1)求a的值;(2)若g(x)≤t2