已知函数f（x）=eaxlnx在定义域内是增函数 求实数a的取值范围．

问题补充：

已知函数f（x）=eaxlnx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．

答案：

解：函数的定义域为（0，+∞）．f′（x）=aeaxlnx+eax×=eax（alnx+）．?…（2分）

①当a=0时，f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函数；???????…（3分）

②当a＜0时，∵，，

∴，

又∵eax＞0，∴当x→+∞时，f′（x）＜0，

与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾；…（5分）

③当a＞0时，设g（x）=alnx+则g′（x）=．

若0＜x＜时，g′（x）＜0，x＞时，g′（x）＞0

∴g（x）在x=时取得最小值即g（x）的最小值为g=-alna+a=a（1-lna）．???????…（8分）

（i）当0＜a＜e，则g＞0，从而f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（ii）当a=e，则g=0，其余各点处g（x）＞0，从而f′（x）≥0（仅在x=时取等号），

故f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（iii）当a＞e，则g＜0，从而f′＜0，与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾．…（11分）

综上所述，a的取值范围是[0，e]．???????…（12分）

解析分析：易求函数f（x）=eaxlnx在定义域为（0，+∞）因此要使函数f（x）=eaxlnx在定义域内是增函数即使f′（x）=aeaxlnx+eax×=eax（alnx+）≥0在（0，+∞）上恒成立即可即对a进行讨论再结合单调性保证alnx+≥0在（0，+∞）上恒成立．

点评：本题主要考察了利用导数研究函数的单调性，较难．解题的关键是要紧紧抓住要使函数f（x）=eaxlnx在定义域内是增函数即使f′（x）=aeaxlnx+eax×=eax（alnx+）≥0在（0，+∞）上恒成立这一等价条件！