问题补充:
已知:如图,AB为⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC于点E.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)若DE=2,tanC=,求⊙O的直径.
答案:
(1)证明:连接OD.
∵D为AC中点,O为AB中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°,
∴∠ODE=∠DEC=90°,
∴OD⊥DE于点D,
∴DE为⊙O的切线;
(2)解:连接DB,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴DB⊥AC,
∴∠CDB=90°
∵D为AC中点,
∴AB=BC,
在Rt△DEC中,
∵DE=2,tanC=,
∴EC=,
由勾股定理得:DC=,
在Rt△DCB中,BD=,
由勾股定理得:BC=5,
∴AB=BC=5,
∴⊙O的直径为5.
解析分析:(1)连接OD,利用D是AC中点,O是AB中点,那么OD就是△ABC的中位线,利用三角形中位线定理,可知OD∥BC,而DE⊥BC,则∠DEC=90°,利用平行线的性质,有∠ODE=∠DEC=90°,即DE是⊙O的切线;
(2)连接BD,由于AB是直径,那么∠ADB=90°,即BD⊥AC,在△ABC中,点D是AC中点,于是BD是AC的垂直平分线,那么BA=BC,在Rt△CDE中,DE=2,tanC=,可求CE=4,再利用勾股定理可求CD=2,同理在Rt△CDB中,CD=2,tanC=,可求BD=,利用勾股定理可求BC=5,从而可知BA=BC=5.
点评:本题主要是作出合适的辅助线.利用了三角形中位线的判定和性质、平行线的性质、切线的判定、直径所对的圆周角等于90°、三角函数值、勾股定理.
已知:如图 AB为⊙O的直径 ⊙O过AC的中点D DE⊥BC于点E.(1)求证:DE为⊙O的切线;(2)若DE=2 tanC= 求⊙O的直径.