解答题已知f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数 g（x）=λf（x）．（1）

问题补充：

解答题已知f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．

（1）求实数a的值；

（2）若g（x）≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围．

答案：

解：（1）函数f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数，

令f（0）=0，即ln（1+a）=0，解得a=0，故函数f（x）=ln（ex）=x． …（4分）

显然有f（-x）=-f（x），函数f（x）=x是奇函数，满足条件，所求实数a的值为0．…（6分）

（2）f（x）=x，g（x）=λx，则λx≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，…（8分）

∵函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，…（11分）

∴λ≤1，即λ的取值范围为（-∞，1]．…（12分）解析分析：（1）令f（0）=0，解得a=0，可得函数f（x）=ln（ex）=x，经检验满足条件，故所求实数a的值为0．（2）根据f（x）=x，g（x）=λx，可得λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，求出函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，可得λ的取值范围．点评：本题主要考查函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，属于中档题．