问题补充:
解答题已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为D(2,0),设点.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;
(Ⅲ)是否存在直线l,满足l过原点O并且交椭圆于点B、C,使得△ABC面积为1?如果存在,写出l的方程;如果不存在,请说明理由.
答案:
解:(Ⅰ)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1,…(1分)
又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为.…(2分)
(Ⅱ)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由得x0=2x-1,且.…(4分)
由点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.…(6分)
(Ⅲ)当直线BC垂直于x轴时,线段BC的长为2,因此△ABC的面积S△ABC=1满足l的条件.当直线BC不垂直于x轴时,设直线方程为y=kx(k∈R),代入,解得
B(,),C(-,-),则.…(8分)
又点A到直线BC的距离d=,∴△ABC的面积S△ABC=.…(10分)
于是S△ABC==1,得=0,所以k=0.
∴直线l存在,其方程为x=0和y=0.…(12分)解析分析:(Ⅰ)由左焦点为 ,右顶点为D(2,0),得到椭圆的半长轴a,半焦距c,再求得半短轴b,最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程.(II)由于线段PA中点M随着P的变动而变动,故只需求出两动点之间的坐标关系,利用P再椭圆上即可求得线段PA中点M的轨迹方程(Ⅲ)当直线BC垂直于x轴时,线段BC的长为2,因此△ABC的面积S△ABC=1满足l的条件.当直线BC不垂直于x轴时,设直线方程为y=kx(k∈R),代入,求得B,C的坐标,从而求得BC长,利用点到直线的距离公司可求点A到直线BC的距离,从而可求△ABC的面积,进而可求k及直线l的方程.点评:本题以椭圆的性质为载体,考查椭圆的标准方程,考查代入法求轨迹方程,同时考查了直线与椭圆的位置关系,代入法求轨迹方程解题的关键是寻找动点之间的坐标关系.