高三数学立体几何与空间向量专题复习的检测含答案
一、选择题
1.(武汉调研)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()
解析 A、B、C与俯视图不符.
答案 D
2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()
解析 抓住其一条对角线被遮住应为虚线,可知正确答案在C,D中,又结合直观图知,D正确.
答案 D
3.(安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()
A.21+3 B.18+3
C.21 D.18
解析
由三视图知,该多面体是由正方体割去两 个角所成的图形,如图所示,则S=S正方体-2S三棱锥侧+2S三棱锥底=24-231211+234(2)2=21+3.
答案 A
4.已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA平面ABCD,ABBC,SA=AB=1,BC=2,则球O的表面积等于()
A.4B.3
C.2
解析
如图所示,由ABBC知,AC为过A,B,C,D四点小圆直径,
所以ADDC.
又SA平面ABCD,
设SB1C1D1-ABCD为SA,AB,BC为棱长构造的长方体,
得体对角线长为12+12+22=2R,
所以R=1,球O的表面积S=4.故 选A.
答案 A
5.(湖南卷)一块石材表示的几 何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()
A.1 B.2
C.3 D.4
解析
由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1相切,故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B.
答案 B
6.点A,B,C,D均在同一球面上,其中△ABC是正三角形,AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()
A.323 B.48 C.643 D.163
解析
如图所示,O1为三角形ABC的外心,过O做OEAD,
OO1面ABC,
AO1=33AB=3.∵OD=O A,
E为DA的中点.∵AD面ABC,
AD∥OO1,EO=AO1=3.
DO=DE2+OE2=23.
R=DO= 23.
V=43(23)3=323.
答案 A
二、填空题
7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是________.
解析
由三视图可知,四棱锥的高为2,底面为直角梯形ABCD.其中DC=2,AB=3,BC=3,所以四棱锥的体积为132+3322=533.
答案 533
8.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1?V2=________.
解析 设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,底面三角形ABC的面积为S,则V1=1314S12h=124Sh=124V2,即V1?V2=1?24.
答案 1?24
9.在四面体ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为________.
解析 构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为4、5、6,设长方体的三条边分别为x,y,z,则x2+y2+z2=772,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以S=4R2=772.
答案 772
三、解答题
10.下列三个图中,左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图.
(1)请在正(主)视图的下方,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程).
(2)求该多面体的体积(尺寸如图).
解 (1)作出俯视图如图所示.
(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱锥体积
VE-A1B1D1=13S△A1B1D1A1E=1312221=23,
正方体体积V正 方体AC1=23=8,
所以所求多面体的体积V=8-23=223.
11.
(安徽卷)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A底面ABCD.四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC.过 A1,C,D三点 的平面记为,BB1与的交点为Q.
(1)证明:Q为BB1的.中点;
(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.
解 (1)证明:因为BQ∥AA1,BC∥AD,BCBQ=B,ADAA1=A,
所以平面QBC∥平面A1AD.
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边相互平行,于是△QBC∽△A1AD.
所以BQBB1=BQAA1=BCAD=12,
即Q为BB1的中点.
(2)如图,连接QA,QD.
设AA1=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=2a.
VQ-A1AD=13122ahd=13ahd,
VQ-ABCD=13a+2a2d12h=14ahd,
所以V下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=712ahd,
又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=32ahd,
所以V上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V下=32ahd-712ahd=1112ahd.故V上V下=117.
B级能力提高组
1.(北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()
A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2S3
C.S3=S1且S3 S2 D.S3=S2且S3S1
解析 作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影,计算三角形的面积.如图所示,△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影,所以S1=1222=2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DE F(E,F 分别为OA,BC的中点)全等,所以S2=1222=2.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G,H分别为AB,OC的中点)全等,所以S3=1222=2.所以S2=S3且S1S3.故选D.
答案 D
2.(山东卷)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2=________.
解析 由于VP-ABE=VC-ABE,所以VP-ABE=12VP-ABC,又因VD-ABE=12VP-ABE,所以VD-ABE=14VP-ABC,V1V2=14.
答案 14
3.
(理)(课标全国卷Ⅱ)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.
解 (1)连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
EO平面AEC,PB平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,AB的方向为x轴的正方向,|PA|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz.
则D(0,3,0),E0,32,12, AE=0,32,12.
设B(m,0,0)(m0),则C(m,3,0),AC=(m,3,0),
设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则n1AC=0,n1AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,
可取n1=3m,-1,3.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设|cos〈n1,n2〉|=12,即 33+4m2=12,
解得m=32.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体积V=131233212=38.
3.(文)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得PEB=30.
(1)求证:EF
(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积.
解 (1)证明:∵AB=BC,BCAB,
又∵EF∥BC,EFAB,
即EFBE,EFPE.
又BEPE=E,
EF平面PBE,
EFPB.
(2)设BE=x,PE=y,则x+y=4.
S△PEB=12BEPEsinPEB=14xy14x+y22=1.
当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大.
此时,BE=PE=2.
由(1)知EF平面PBE,
平面PBE平面EFCB,
在平面PBE中,作POBE于O,
则PO平面EFCB.
即PO为四棱锥P-EFCB的高.
又PO=PEsin30=212=1.
S梯形EFCB =12(2+4)2=6.
VP-BCFE=1361=2.