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抛物线是初中数学的重要知识点，动点和最值问题是抛物线相关题型中的难点，本文就例题详细讲解这类题型的解题思路，希望能给新初三学生的暑假复习带来帮助。
例题
将抛物线C1：y=x平移后的抛物线C2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）与y轴负半轴交于C点，已知A（-1，0），tanCAB=3。
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）若点P是抛物线C2上的一点，连接PB，PC，求S△BPC=S△CAB时点P的坐标；
（3）D为抛物线C2的顶点，Q是线段BD上一动点，连接CQ，点B，D到直线CQ的距离记为d 1，d2，试求出d1+d2的最大值，并求出此时Q点坐标。
1、求抛物线C2的解析式
根据题目中的条件：A（-1，0），则OA=1；
根据题目中的条件和结论：tanCAB=3，tanCAB=OC/OA，OA=1，则OC=3，即C点坐标为（0，-3）；
根据题目中的条件和结论：抛物线C1：y=x平移后得到抛物线C2，抛物线C2与y轴的交点为C，C（0，-3），则设抛物线C2的解析式为：y=x+bx-3；
根据题目中的条件：抛物线C2经过A点，A（-1，0），则A点坐标能使等式y=x+bx-3成立，可求得b=-2。
所以，抛物线C2的解析式为：y=x-2x-3。
2、求P点的坐标
根据结论：抛物线C2的解析式为：y=x-2x-3，当y=0时，可求得x=-1或3，即抛物线与x轴的两个交点坐标为：A（-1，0），B（3，0）；
根据结论：A（-1，0），B（3，0），则AB=4，OB=3；
根据三角形的面积计算公式和结论：S△CAB=AB*OC/2，AB=4，OC=3，则S△CAB=6；
根据勾股定理和结论：BC=OB+OC，OC=3，OB=3，则BC=3√2；
设过B、C点的直线为l1，过P点作直线l2∥l1，交y轴于G点，作PF⊥l1，交l1于点F，过C点作CE⊥l2，交l2于点E
根据题目中的条件和结论：S△CAB=6，S△BPC=S△CAB，则S△BPC=6；
根据三角形的面积计算公式和结论：S△BPC=BC*PF/2，BC=3√2，S△BPC=6，则PF=2√2；
根据平行线的判定和题目中的条件：在同一平面内，垂直于平行线的两条直线平行，PF⊥l1，CE⊥l2，l2∥l1，则PF∥CE；
根据平行四边形的判定和结论：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，l2∥l1，PF∥CE，则四边形CEPF为平行四边形。
根据平行四边形的性质和结论：平行四边形的对边相等，四边形CEPF为平行四边形，PF=2√2，则CE=PF=2√2；
根据结论：OB=OC，OB⊥OC，则△OBC为等腰直角三角形；
根据等腰直角三角形的性质和结论：等腰直角三角形的两个锐角为45°，△OBC为等腰直角三角形，即∠OCB=45°；
根据平行线的性质和结论：两直线平行，同位角相等，l2∥l1，∠OCB=45°，则∠CGE=∠OCB=45°；
根据平行线的性质和结论：两条平行线中的一条与直线垂直，则另一条也与这条直线垂直，l2∥l1，CE⊥l2，则CE⊥l1；
根据结论：CE⊥l1，∠CGE=45°，则三角形CGE为等腰直角三角形；
根据等腰直角三角形的性质和结论：等腰直角三角形的斜边等于直角边的√2倍，三角形CGE为等腰直角三角形，CE=2√2，则CG=4，即直线l1平行上移或下移4个单位长度得到l2；
设直线l1的解析式为y=kx+b
根据题目中的条件：直线l1经过B、C两点，B（3，0），C（0，-3），则B、C点坐标代入y=kx+b能使等式成立，可解得k=1，b=-3；
所以，直线l1的解析式为y=x-3；
根据结论：直线l1平行上移或下移4个单位长度得到l2，直线l1的解析式为y=x-3，则直线l2的解析式为y=x+1或y=x-7。
（1）当直线l2的解析式为y=x+1时
根据题目中的条件和结论：直线l2与抛物线C2交于P点，直线l2的解析式为y=x+1，抛物线C2的解析式为y=x-2x-3，可解得P点坐标为（4,5）或（-1,0）。
（2）当直线l2的解析式为y=x-7时
根据题目中的条件和结论：直线l2与抛物线C2交于P点，直线l2的解析式为y=x-7，抛物线C2的解析式为y=x-2x-3，因为无解，所以不存在满足条件的P点。
所以，满足条件的P点坐标为（4,5）或（-1,0）。
3、求d1+d2的最大值和Q点的坐标
连接CQ并延长，过B点作BM⊥CQ，交CQ的延长线于M，过D点作DN⊥CQ，交CQ于N
根据题目中的条件和结论：抛物线C2的解析式为y=x-2x-3，D为抛物线C2的顶点，则D点坐标为（1，-4）；
根据两点间距离的公式和结论：D（1，-4），B（3，0），则BD=√(3-1)+(-4-0)=2√5。
根据题目中的条件：BM⊥CQ，DN⊥CQ，则△BMQ、△DNQ为直角三角形，即BM=d1，DN=d2；
根据直角三角形的性质和结论：直角三角形的直角边小于斜边，则BM<BQ，DN<DQ；
根据结论：BM=d1，DN=d2，BM<BQ，DN<DQ，则d1<BQ，d2<DQ，即d1+d2<BQ+DQ=BD；
当CQ⊥BD时，d1+d2=BD，取到最大值2√5
设直线BD的解析式为y=kx+b
根据题目中的条件和结论：直线BD的解析式为y=kx+b，D（1，-4），B（3，0），可解得k=2，b=-6，则直线BD的解析式为y=2x-6；
当CQ⊥BD时，设直线CQ的解析式为y=-1/2x+b
根据题目中的条件和结论：直线CQ与y轴的交点为C（0，-3），则b=-3；
所以，直线CQ的解析式为y=-1/2x-3；
根据结论：直线BD的解析式为y=2x-6，直线CQ的解析式为y=-1/2x-3，两直线交于Q点，可解得Q点坐标为（6/5，-18/5），在线段BD上，符合条件。
所以，满足条件的Q点坐标为（6/5，-18/5），d1+d2的最大值为2√5。
结语
抛物线的动点和最值问题的解题思路：
根据题意画图，把题目中的条件在图上做好标注；
采用数形结合的思想，根据题意，在几何图形中进行求解；
把图形中的线段或角度关系转换成特殊点的坐标值；
设定函数表达式，利用特殊点的坐标值进行求解；
利用函数的性质和表达式，根据题目要求求解最后结果。
