二次函数的动点问题是中考数学的常考题型,多解问题是其中比较有难度的题型,本文就例题详细解析二次函数动点和多解题型的解题思路,希望能给初三学生的复习备考提供帮助。
例题
如图,抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0,√3)。当x=-4和x=2时,二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的函数值y相等,连结AC、BC。
(1)求实数a,b,c的值;
(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动。当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
1、求实数a,b,c的值
根据题目中的条件:当x=-4和x=2时,二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的函数值y相等,则二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的对称轴为x=(-4+2)/2=-1;
根据韦达定理、题目中的条件和结论:二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,x1+x2=-b/a,则对称轴=(x1+x2)/2=-b/2a=-1,即b=2a;
根据题目中的条件:抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与y轴相交于点C(0,√3),则c=√3;
根据题目中的条件:抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0),则A点坐标代入抛物线解析式能使等式成立,即9a-3b+√3=0;
根据结论:b=2a,9a-3b+√3=0,可求得a=-√3/3,b=-2√3/3;
所以,a=-√3/3,b=-2√3/3,c=√3,二次函数的解析式为:y=-√3/3x-2√3/3x+√3。
2、求t的值及点P的坐标
设B点坐标为(s,0)
根据题目中的条件和结论:抛物线y=-√3/3x-2√3/3x+√3与x轴交于A(-3,0)、B(s,0),对称轴为-1,则(-3+s)/2=-1,可求得s=1,即B点坐标为(1,0);
根据结论:B(1,0),C(0,√3),则OB=1,OC=√3;
根据特殊直角三角形的三角函数值和结论:tan∠OBC=OC/OB,OB=1,OC=√3,则tan∠OBC=√3,即∠OBC=60°;
根据题目中的条件:点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,运动时间为t秒,则BM=t,BN=t;
根据题目中的条件:△BMN沿MN翻折得到△PMN,则PM=BM,PN=BN;
根据结论:BM=t,BN=t,PM=BM,PN=BN,则PM=BM=PN=BN;
根据菱形的判定和结论:四条边相等的四边形为菱形,PM=BM=PN=BN,则四边形BMPN为菱形;
根据菱形的性质和结论:菱形的两组对边分别平行,四边形BMPN为菱形,则PM∥BC;
若P在AC边上
根据平行线分线段成比例定理和结论:平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例,PM∥BC,则PM/BC=AM/AB;
根据勾股定理和结论:OB=1,OC=√3,BC=OB+OC,则BC=2;
根据题目中的条件和结论:A(-3,0),B(1,0),则AB=4;
根据结论:AB=4,BM=t,则AM=AB-BM=4-t;
根据结论:PM=BM=t,BC=2,AB=4,AM=4-t,PM/BC=AM/AB,可求得t=4/3;
根据结论:PM=BM=t,t=4/3,则PM=BM=4/3;
过P点作PD⊥AB,交x轴于点D
根据平行线的性质和结论:两直线平行,同位角相等,PM∥BC,则∠PMD=∠OBC;
根据结论:∠OBC=60°,∠PMD=∠OBC,则∠PMD=60°;
根据特殊直角三角形的三角函数值和结论:PD⊥AB,∠PMD=60°,PM=4/3,MD/PM=1/2,PD/PM=√3/2,则MD=2/3,PD=2√3/3;
根据结论:MD=2/3,BM=4/3,则BD=MD+BM=2;
根据结论:BD=2,B(1,0),则D点坐标为(-1,0);
根据结论:D点坐标为(-1,0),则OD=1;
根据结论:OD=1,PD=2√3/3,则P点坐标为(-1,2√3/3);
所以,t=4/3,P点坐标为(-1,2√3/3)。
3、求点Q的坐标
设对称轴与x轴交于D点
(1)△ABC∽△QBN,即BQ与BA、BN与BC、NQ与CA为对应边,Q点在AB上
根据相似三角形的性质和题目中的条件:相似三角形的对应边成比例,△ABC∽△QBN,则BQ/AB=BN/BC;
根据结论:AB=4,BN=4/3,BC=2,BQ/AB=BN/BC,则BQ=8/3;
根据题目中的条件和结论:D(-1,0),B(1,0),则BD=2;
根据结论:BD=2,BQ=8/3,则BD≠BQ;这个Q点不符合条件。
(2)△ABC∽△BQN,即BQ与AB、BN与AC、NQ与BC为对应边
根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△ABC∽△BQN,则BQ/AB=BN/AC;
根据结论:A(-3,0),则OA=3;
根据勾股定理和结论:OA=3,OC=√3,AC=OA+OC,则AC=2√3;
根据结论:AB=4,BN=4/3,AC=2√3,BQ/AB=BN/AC,则BQ=8√3/9;
根据结论:BD=2,BQ=8√3/9,则BD>BQ;这个Q点不符合条件。
(3)△ABC∽△QNB,即BQ与AC、BN与BC、NQ与AB为对应边
根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△ABC∽△QNB,则BQ/AC=BN/BC;
根据结论:AC=2√3,BC=2,BN=4/3,BQ/AC=BN/BC,则BQ=4√3/3;
根据结论:BQ=4√3/3,BD=2,则BQ>BD,这个Q点符合条件;
根据勾股定理和结论:BQ=4√3/3,BD=2,QD=BQ-BD,则QD=2√3/3;
所以,Q点坐标为(-1,-2√3/3)。
(4)△ABC∽△NQB,即BQ与BC、BN与AC、NQ与AB为对应边
根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△ABC∽△NQB,则BQ/BC=BN/AC;
根据结论:AC=2√3,BC=2,BN=4/3,BQ/BC=BN/AC,则BQ=4√3/9;
根据结论:BD=2,BQ=4√3/9,则BD>BQ;这个Q点不符合条件。
(5)△ABC∽△BNQ,即BQ与AC、QN与BC、BN与AB为对应边
根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△ABC∽△BNQ,则BQ/BC=BN/AB;
根据结论:AB=4,BC=2,BN=4/3,BQ/BC=BN/AB,则BQ=2/3;
根据结论:BD=2,BQ=2/3,则BD>BQ;这个Q点不符合条件。
(6)△ABC∽△NBQ,即BQ与BC、QN与AC、BN与AB为对应边
根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△ABC∽△NBQ,则BQ/AC=BN/AB;
根据结论:AC=2√3,AB=4,BN=4/3,BQ/AC=BN/AB,则BQ=2√3/3;
根据结论:BD=2,BQ=2√3/3,则BD>BQ;这个Q点不符合条件。
所以,符合条件的Q点坐标为(-1,-2√3/3)。
结语
解决二次函数的动点问题必须充分利用几何图形的特殊性质,得到边与角之间的关系,再对应到二次函数上特殊点的坐标进行求解,遇到多解问题时必须考虑各种可能性,认真审题、仔细分析,灵活运用几何图形的性质,才能轻松应对这类题型,为数学中考取得高分加油助力!