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中庸属性的浙江圆锥曲线导数压轴大题解析

时间:2022-03-12 10:57:53

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中庸属性的浙江圆锥曲线导数压轴大题解析

浙江高考数学难度较之于下降了不少,选择第10题有点难度,填空没难度,大题中数列为常规题目,唯一有难度的是解析几何和导数,相比于往年浙江卷,这两个题目的的难度都降低不少。

第二问的解题关键是椭圆与抛物线的交点A,题目中出现了椭圆的中点弦,所以第一想到的方法是利用中点弦的结论(点差法),联立椭圆和抛物线方程能求出用p表示的点A的横坐标,若直接带入到抛物线方程中会得到一个y=f(p)的方程,求p的最大值只需确定出点A纵坐标的取值范围即可。用点差法只需用到点A和点M的坐标,将各自的横坐标转化为纵坐标带入中点弦斜率结论中可得到一个关于A点和M点纵坐标的等式关系,如下:

以上做法需要对斜率乘积为定值这一步骤进行完善,不可直接使用,这是最简单的一种方法,不需要设直线方程,若从点,直线和圆锥曲线的位置关系来看,可设出直线l的方程,分别与椭圆和抛物线联立,确定出点A的坐标,带入到椭圆方程中也可。

也可以椭圆与抛物线联立,用p表示出点A的横坐标,直线l与椭圆联立,表示出点M的坐标,直线与抛物线联立,用韦达定理表示出A点和M点的横坐标之和,再减去求出的M的横坐标,即可表示出A点的横坐标,令A点两个横坐标相等即可用参数表示出p,消参利用不等式求最值即可。

如果直接令A点两个横坐标相等,此时会出现用m,n两个未知量表示出p,参数过多无法求最值,将M点带入抛物线方程中得到m,n,p的关系式,用这个关系式来对等式进行化简即可。

比较以上三种做法,做法一最简单,也是最容易想到的做法,做法二次之,做法三最麻烦,但是无论哪种方法的计算量都不大,题目不算是难题。

导数压轴题是一个看上去比较平庸的题目,第一问中带点可确定零点的大致范围为1<x0<2,第二问的第一小问中可利用零点转化为一个双向不等式成立的问题,即需证明两次恒成立,左侧不等式设为函数g(x),右侧设为h(x),但在证明g(x)≤0时由于零点的范围过大,无法证明g(x)的最大值小于零,但考虑到当x≥1时根据a的范围,左侧不等式恒成立,因此只需证明当0<x0<1时不等式恒成立即可,这个就很好证了,题目在这里设置了一个难点,挺有意思,证明右侧不等式恒成立很简单。

第三问证明显然不能直接带入,可利用零点把e^x替换为x+a,如下所示:

上面步骤中根据m(x)的单调性和(i)中x0的范围可得到m(x)的最小值,再证明最小值大于等于原不等式右侧值即可,对比m(x)最小值和右侧值,e的次数要变成1次,这里可利用放缩得到,至于为什么要把根式前的a变为2(a-1),因为不等式左侧存在根式,证明时必然要平方,且右侧存在(a-1),把a放缩成2(a-1)之后,平方能把右侧四次变成一次,否则右侧出现三次,如下:

此时n(a)无法判断单调性,即便是再放缩也不能确定n(a)单调,事实上用作图软件能发现n(a)在(1,2]上不单调,存在极小值点,但极小值点和最值不能求,有的答案过程中就没有对a进行放缩,也没有求最值的步骤,这就有点投机取巧的意思了。

综上来看,浙江卷大题数列没有难度,圆锥曲线若采用中点弦来求难度也不大,但采用常规做法计算量稍大,导数压轴题难度上很奇怪,属于挖坑题,第二问的两小问均有坑,做起来很不舒服,但思路很清楚,相比于江苏卷,浙江卷整体的水平要差一截。

自此全国高考数学真题解析到此为止。

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