典型例题分析1:
如图,已知在△ABC中,∠BAC=2∠C,∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F,FG∥AC,联结DG.
(1)求证:BFBC=ABBD;
(2)求证:四边形ADGF是菱形.
证明:(1)∵AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC.
∵∠BAC=2∠C,
∴∠BAF=∠C=∠EAC.
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
∵∠ABF=∠C,∠ABD=∠DBC,
∴△ABF∽△CBD.
∴AB/BC=BF/BD.
∴BFBC=ABBD.
(2)∵FG∥AC,
∴∠C=∠FGB,
∴∠FGB=∠FAB.
∵∠BAF=∠BGF,∠ABD=∠GBD,BF=BF,
∴△ABF≌△GBF.
∴AF=FG,BA=BG.
∵BA=BG,∠ABD=∠GBD,BD=BD,
∴△ABD≌△GBD.
∴∠BAD=∠BGD.
∵∠BAD=2∠C,
∴∠BGD=2∠C,
∴∠GDC=∠C,
∴∠GDC=∠EAC,
∴AF∥DG.
又∵FG∥AC,
∴四边形ADGF是平行四边形.
∴AF=FG.
∴四边形ADGF是菱形.
典型例题分析2:
如图,在平行四边形ABCD中,AE∥CF,求证:△ABE≌△CDF.
考点分析:
平行四边形的性质;全等三角形的判定.
题干分析:
首先证明四边形AECF是平行四边形,即可得到AE=CF,AF=CE,再根据由三对边相等的两个三角形全等即可证明△ABE≌△CDF.
典型例题分析3:
如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心,经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CF=4,DF=√10,求⊙O的半径r及sinB.
考点分析:
切线的判定.
题干分析:
(1)连接OA、OD,如图,根据垂径定理得OD⊥BC,则∠D+∠OFD=90°,再由AB=BF,OA=OD得到∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,加上∠BFA=∠OFD,所以∠OAD+∠BAF=90°,则OA⊥AB,然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线;
(2)先表示出OF=4﹣r,OD=r,在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+(4﹣r)2=(√10)2,解方程得到r的值,
那么OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.
然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2,即AB2+32=(AB+1)2,解方程得到AB=4的值,再根据三角函数定义求出sinB.