#初中数学学习#
01
单元学法
本单元的主要内容是利用相似解决实际问题。主要知识点涉及到相似图形、相似三角形、成比例线段等。
本单元考试题目，大多数是综合性比较强的题目。比如第25题和第26题。
25. 如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．
考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的定义．
分析：（1）由AB=AC，AD平分∠CAE，易证得∠B=∠DAG=∠CAG，继而证得结论；
（2）由CG⊥AD，AD平分∠CAE，易得CF=GF，然后由AD∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
解答：（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠DAG=∠CAG，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∵∠CAG=∠B+∠ACB，∴∠B=∠CAG，
∴∠B=∠CAG，∴AD∥BC；
（2）解：∵CG⊥AD，∴∠AFC=∠AFG=90°，
∴△AFC≌△AFG（ASA），∴CF=GF，
∵AD∥BC，∴△AGF∽△BGC，
∴GF：GC=AF：BC=1：2，∴BC=2AF=2×4=8．
26. 考点：相似形综合题．
分析：（1）作AF⊥BC，判断出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；
（2）先求出tan∠DAE=，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；
（3）构造含30°角的直角三角形，设出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．
证明：（1）如图2，作AF⊥BC，
∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，
在△ABF和△BAE中，∴△ABF≌△BAE（AAS），∴BF=AE
∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=BC，∴BC=2AE，
故答案为AAS
（2）如图3，连接AD，作CG⊥AF，
在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，∴AD=CD，
∵点E是DC中点，∴DE=CD=AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，
∵∠CDF=∠EAC，∴∠F+∠EAC=45°，
∵∠DAE+∠EAC=45°，∴∠F=∠DAE，
∴tan∠F=tan∠DAE=，∴CG=×2=1，
∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，∴∠DCG=45°，
∵∠CDF=∠EAC，∴△DCG∽△ACE，
∵CD=AC，CE=CD=AC，∴AC=4；∴AB=4；
（3）如图4，过点D作DG⊥BC，设DG=a，
在Rt△BGD中，∠B=30°，∴BD=2a，BG=a，
∵AD=kDB，∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），
过点A作AH⊥BC，
在Rt△ABH中，∠B=30°．∴BH=a（k+1），
∵AB=AC，AH⊥BC，∴BC=2BH=2a（k+1），
∴CG=BC﹣BG=a（2k+1），
过D作DN⊥AC交CA延长线与N，
∵∠BAC=120°，∴∠DAN=60°，
∴∠ADN=30°，∴AN=ka，DN=ka，
∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，∴△NDE∽△GDC．
∴NE=3ak（2k+1），∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），
点评此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，中点的定义，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．
现在，让我们一起去研究中考真题吧。
02
阅读说明
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中考真题精选
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参考答案
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经典题目解析
一、选择题
6. 考点位似变换．分析根据平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质进行判断即可．解答解：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；点评本题考查的是平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换，理解“等距变换”的定义、掌握平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质是解题的关键．
7. 考点位似变换；坐标与图形性质．分析利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行求解．
8. 考点位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．分析直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
9. 分析由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．
10. 分析根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得的长，本题得以解决．点评本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
11. 分析设AF＝x，则AC＝3x，利用正方形的性质得EF＝CF＝2x，EF∥BC，再证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到BC＝6x，所以AB＝3x，则3x＝30，解得x＝2，然后用△ABC的面积减去正方形的面积得到剩余部分的面积．点评本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用对应边成比例求相应线段的长．也考查了正方形的性质．
12. 分析直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．点评此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
二、填空题
16. 分析： 首先证明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相应数据可得答案．点评： 此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
17.分析：先求出F为AC的中点，根据三角形的中位线求出BC=2EF，代入求出即可．点评：本题考查了三角形的中位线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BC=2EF，注意：垂直于同一直线的两直线平行．
18. 考点位似变换；一次函数图象上点的坐标特征．分析首先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
19. 分析直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．点评此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
三、证明题
20. 答案（1）平行；（2）7m.解析试题分析：（1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影；（2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出电线杆的高度.
21. 分析（1）利用等式的性质判断出，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出，得出，即，再由，判断出，即可得出结论．点评此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
24. 分析： 根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．点评： 此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．
25. 如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．考点相似三角形的判定与性质；角平分线的定义．
分析（1）由AB=AC，AD平分∠CAE，易证得∠B=∠DAG=∠CAG，继而证得结论；（2）由CG⊥AD，AD平分∠CAE，易得CF=GF，然后由AD∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
26. 考点相似形综合题．分析（1）作AF⊥BC，判断出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；（2）先求出tan∠DAE=，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；（3）构造含30°角的直角三角形，设出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．
点评：此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，中点的定义，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．
27. 考点作图-位似变换；作图-平移变换．分析（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1；（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．点评本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
28. 考点作图-位似变换；作图-轴对称变换．分析（1）根据位似图形可得位似比即可；（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；（3）根据三次变换规律得出坐标即可．
29. 考点相似形综合题．分析（1）证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可；2）①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，得到扇形的圆心角，根据T（A）的定义解答即可．
30. 分析（1）根据比例三角形的定义分AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BCAD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得ABBC=BHDB，即ABBC=BD2，结合ABBC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．
