本节为概率论与数理统计复习笔记的第一部分,随机事件与概率(一):古典概型与几何概型,主要包括:古典概型和几何概型求概率。
1. 古典概型求概率
称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型,若其基本事件空间(样本空间)满足:
只有有限个基本事件(样本点)每个基本事件发生的可能性都一样
若古典概型的基本事件总数为nnn,事件AAA包含kkk个基本事件,也称有利于AAA的基本事件为kkk个,则AAA的概率为:P(A)=knP(A)=\frac{k}{n}P(A)=nk。
egegeg(随机占位问题):有五封信放入四个信箱,下列事件的概率为:
1.A1A_1A1:{第一、二号信箱各投入一封信}2.A2A_2A2:{有一个信箱有三封信}3.A3A_3A3:{仅有一个信箱没有信}4.A4A_4A4:{第二个信箱没有信}
解:
P(A1)=C51C4123/45=5/32P(A_1)={C_5^1C_4^12^3}/{4^5}={5}/{32}P(A1)=C51C4123/45=5/32
P(A2)=C41C5332/45=45/128P(A_2)={C_4^1C_5^33^2}/4^5=45/128P(A2)=C41C5332/45=45/128
P(A3)=(C41(C31C53C21C11+C31C51C42C22))45=75/128P(A_3)=\frac{(C_4^1(C_3^1C_5^3C_2^1C_1^1+C_3^1C_5^1C_4^2C_2^2))}{4^5}=75/128P(A3)=45(C41(C31C53C21C11+C31C51C42C22))=75/128
P(A4)=35/45=243/1024P(A_4)=3^5/4^5=243/1024P(A4)=35/45=243/1024
2. 几何概型求概率
称随机试验的概率模型为几何概型,若:
样本空间Ω\OmegaΩ是一个可度量的几何区域每个样本点发生的可能性都一样,即样本点落入Ω\OmegaΩ的某一可度量子区域SSS的可能性与SSS的几何度量成正比,而与SSS的位置及形状无关。
有:
P(A)=SA的几何度量Ω的几何度量P(A)=\frac{S_A的几何度量}{\Omega的几何度量} P(A)=Ω的几何度量SA的几何度量
egegeg(会面问题):两人相约7点到8点之间到某地点会面,先到者等另一人20分钟就可以离去,求二人会面的概率。
解:我们设一个人到达的时间为x,设另一人到达的时间为y,有0≤x≤60,0≤y≤600\leq x\leq 60,0\leq y\leq 600≤x≤60,0≤y≤60,绘制在平面直角坐标系中,是一个正方形区域,也就是上文对应的Ω\OmegaΩ,二人会面成功,则要求∣x−y∣≤20|x-y|\leq 20∣x−y∣≤20,在平面直角坐标系中,是一个不规则的带状区域,也就是上文提到的SAS_ASA,则最后结果为SA/ΩS_A/\OmegaSA/Ω。
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