Ch 4 - 6 古典概型；条件概率；独立性

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古典概型

（1）每次实验只有有限种可能的实验结果

（2）每次实验，各基本事件出现可能性完全相同

P(A)=A中基本事件数Ω中基本事件数=mn\large P(A)=\frac{A 中基本事件数}{\Omega 中基本事件数}=\frac{m}{n}P(A)=Ω中基本事件数A中基本事件数​=nm​

几何概型

P(A)=A的测度（长度、面积、体积）样本空间的测度（长度、面积、体积）\large P(A)=\frac{A 的测度（长度、面积、体积）}{样本空间的测度（长度、面积、体积）}P(A)=样本空间的测度（长度、面积、体积）A的测度（长度、面积、体积）​

条件概率

设A，B为两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则称

P(B∣A)=P(AB)P(A),P(A)>0\large P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)},P(A)>0P(B∣A)=P(A)P(AB)​,P(A)>0为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。

乘法公式

设A，B是任意两个随机事件，P(A)>0, P(B)>0则

P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(A∣B)P(B)\large P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A|B)P(B)P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(A∣B)P(B)

全概率公式

设事件B1,B2,...,Bn\large B_1,B_2,...,B_nB1​,B2​,...,Bn​是样本空间Ω的一个划分，P(Bi)>0(i=1,2,...,n)\large P(B_i)>0(i=1,2,...,n)P(Bi​)>0(i=1,2,...,n)，A是实验任一事件，则有

P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)\large P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)P(A)=i=1∑n​P(Bi​)P(A∣Bi​)

例题

| i. 美国总体患肺癌的概率为0.1%，人群中有20%抽烟者，他们患上肺癌的概率为0.4%，求不吸烟着患肺癌的概率

解：

记C为事件“患肺癌”，A为事件“吸烟”，根据题意

P(C)=0.001,P(A)=0.02,P(C∣A)=0.004P(C)=0.001,\space P(A)=0.02, \space P(C|A)=0.004P(C)=0.001,P(A)=0.02,P(C∣A)=0.004，要求P(C∣A‾)P(C|\overline A)P(C∣A)，根据全概率公式有

|

| — |

贝叶斯公式

设事件B1,B2,...,Bn\large B_1,B_2,...,B_nB1​,B2​,...,Bn​是样本空间Ω的一个划分，P(Bi)>0(i=1,2,...,n)\large P(B_i)>0(i=1,2,...,n)P(Bi​)>0(i=1,2,...,n)A是实验任一事件，则有

P(Bi∣A)=P(BiA)P(A)=P(Bi)P(A∣Bi)∑i=1nP(Bj)P(A∣Bj),i=1,2,...,n\large P(B_i|A)=\frac{P(B_iA)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{i=1}^nP(B_j)P(A|B_j)},i=1,2,...,nP(Bi​∣A)=P(A)P(Bi​A)​=∑i=1n​P(Bj​)P(A∣Bj​)P(Bi​)P(A∣Bi​)​,i=1,2,...,n

例题

i. 对以往数据分析结果表明,当机器良好时,产品的合格率为百分之98,而机器发生某一故障时,产品的合格率为百分之55,每天早上机器开动时,机器调好的概率为百分之95,已知某日早上第一件产品是合格品,试求机器调整好的概率

解：

设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”

已知 P(A∣B)=0.98,P(A∣B‾)=0.55,P(B)=0.95,P(B‾)=0.05,所求即为P(B∣A)P(A|B)=0.98,P(A|\overline B)=0.55,P(B)=0.95,P(\overline B)=0.05,所求即为P(B|A)P(A∣B)=0.98,P(A∣B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,所求即为P(B∣A)

由贝叶斯公式：

P(B∣A)=P(AB)P(A)=P(A∣B)P(B)P(A∣B)P(B)+P(A∣B‾)P(B‾)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\overline B)P(\overline B)}P(B∣A)=P(A)P(AB)​=P(A∣B)P(B)+P(A∣B)P(B)P(A∣B)P(B)​