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一、古典概型二、几何概型三、伯努利概型一、古典概型
定义：当试验结果为有限nnn个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，如果事件AAA由nAn_{A}nA个样本点组成，则事件AAA的概率
P(A)=nAn=A所包含的样本点数样本点总数P(A)=\frac{n_{A}}{n}=\frac{A所包含的样本点数}{样本点总数} P(A)=nnA=样本点总数A所包含的样本点数
称有限等可能试验中事件AAA的概率P(A)P(A)P(A)为古典型概率
例1：已知666个产品中混有222个次品，现每次一个的逐个随机抽取检验，求
恰好查三次就确定222次品的概率不超过三次就确定222次品的概率
恰好查三次就确定222次品的概率，可以用全排列的方式
C21⏞两个次品挑一个C21⏞前两个位置挑一个A44A66=215\frac{\overbrace{C_{2}^{1}}^{两个次品挑一个}\overbrace{C_{2}^{1}}^{前两个位置挑一个}A_{4}^{4}}{A_{6}^{6}}=\frac{2}{15} A66C21两个次品挑一个C21前两个位置挑一个A44=152
也可以从位置的角度考虑，六个位置任选两个放次品，前两个选一个位置放次品，第三个位置放一个次品
C21C62=215\frac{C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{2}{15} C62C21=152
不超过三次就确定222次品的概率，可以用全排列的方式
C32A22A44A66=15\frac{C_{3}^{2}A_{2}^{2}A_{4}^{4}}{A_{6}^{6}}=\frac{1}{5} A66C32A22A44=51
也可以从位置的角度考虑，挑两个位置给次品，次品必须在前三个位置中的两个
C32C62=15\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5} C62C32=51
一定要保持分子分母考虑对象相同，例如本题分母对所有物品排序，分子就是对所有物品符合条件的排序，或者另一种从位置的角度，分母对两个位置考虑，分子就是对符合条件的两个位置考虑
二、几何概型
定义：当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维、二维或三维等等），以L(Ω)L(\Omega)L(Ω)表示其几何度量（长度、面积、体积等等）。L(Ω)L(\Omega)L(Ω)为有限，且试验结果出现在Ω\OmegaΩ中任何区域可能性只与该区域几何度量成正比。事件AAA的样本点所表示的区域为ΩA\Omega_{A}ΩA，则事件AAA的概率
P(A)=L(ΩA)L(Ω)=ΩA的几何度量Ω的几何度量P(A)=\frac{L(\Omega_{A})}{L(\Omega)}=\frac{\Omega_{A}的几何度量}{\Omega的几何度量} P(A)=L(Ω)L(ΩA)=Ω的几何度量ΩA的几何度量
称这样样本点个数无限但几何度量上的等可能试验中事件AAA的概率P(A)P(A)P(A)为几何型概率
三、伯努利概型
定义：把一随机试验独立重复做若干次，即各次试验所联系的事件之间相互独立，且同一事件在各个试验中出现的概率相同，称为独立重复试验
定义：如果每次试验只有两个结果AAA和Aˉ\bar{A}Aˉ，则称这种试验为伯努利试验，将伯努利试验独立重复进行nnn次，称为nnn重伯努利试验
设在每次试验中，概率P(A)=p(0<p<1)P(A)=p(0<p<1)P(A)=p(0<p<1)，则在nnn重伯努利试验中事件AAA发生kkk次的概率，又称为二项概率公式
Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,⋯,nC_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,⋯,n
例2：某人打靶的命中率为12\frac{1}{2}21，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射击时就已命中的概率为（）
本题可以理解为条件概率，即在射击命中的条件下是第一次命中的概率为（）
设AAA为至少命中一次，BBB为第一次命中，显然B⊂AB \subset AB⊂A。所求概率为
P(B∣A)=P(AB)P(A)=P(B)1−P(Aˉ)=121−(12)3=47P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)}{1-P(\bar{A})}=\frac{\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{4}{7} P(B∣A)=P(A)P(AB)=1−P(Aˉ)P(B)=1−(21)321=74
