通信原理第三章：窄带随机过程

1.为什么要学窄带随机过程？

答：首先实际信号不可能是无限宽的，当然实际信号系统也不可能时是带通无穷大的，实际生活中我们研究的都是窄带信号通过窄带信号系统。

2.窄带随机过程的概念？

答：若随机过程kesei(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对较窄的频带范围derta f内，即满足fc>>derta f，且fc远离零频率，这样的随机过程kesei(t)叫窄带随机过程。通过窄带系统的信号必然是窄带随机过程。

功率频谱密度等于能量谱密度的平方除以T，当T趋于无穷大时的极限

书上第50页给出了一个很典型的窄带信号

你可以这样想，这个窄带信号就是一个类似于正弦信号的其中一部分平移得到的

我们假设原信号是a(t)，他的波形你懂的，这个窄带信号就是这个原信号向左平移和向右平移得到的，所以你只需给它卷积一个cos2paifc(t)就可以了

书上50页第二张图就是这个窄带信号的时域波形，不要想当然，这个虽然类似于正弦信号可并不仅仅是幅度上的变化。所以我们得到了窄带随机过程的第一个表达式：书上49页下面。其中a(t)是随即包络，fai(t)是随机相位，他们的变化相对于coswt的缓慢得多，所以这也应证了上面的那句黑体字。

窄带随机过程总共有3个变形表达式

第二个：将第一个表达式利用三角函数展开

并令keseic(t)=a kesei(t)*cosfaikesei(t)

另一个以此类推

上述两个等式左边分别为同向分量和正交分量

第三个表达式：指数形式

书上50页中下

注意第一个表达式里的a(t)必须>=0，所以你对他积分必须从0到无穷大

接下来我们分别研究同向分量和正交分量的统计特性

在此之前我们假设这个窄带随机过程的均值是0

对第一个表达式求均值，注意有一点cost是确知信号，而kesei(t)是随机信号，所以可以提出来。最后写成模值*余弦，因为值是0，只能是模值等于0，因为余弦可以是0，但并不是每一点都是0。令模值等于0，我们就得出这个窄带随机过程的同向分量和正交分量的均值都是等于0.

接下来求这个窄带随机过程的自相关函数

直接算很简单的

注意那个Rc表示同向分量的自相关函数

Rcs表示两个随机过程（同向和异向）的互相关函数

最后那个很长很长等式左边根据已知条件kesei(t)是平稳的，所以等式左边和时间t无关，只与tao有关，但是等式右边含有t，所以现在我们要证明等式右边那一堆也和t无关

令t=0，所有含有正弦项且自变量是t的项为0，只剩下2项

因为与时间无关

所以Rc，Rcs，Rs，Rsc均与时间无关

再令t = pai/2w，把上述四个式子带入令t等于那两个得到的式子里

所以我们最后得出结论

若窄带随机过程kesei(t)是平稳的，则同向通量和正交通量也为平稳的

把上面t带入得到的式子进行比较得到结论

同向分量和正交分量具有相同的自相关函数

又根据互相关的性质得到结论

Rsc是tao的奇函数

Rcs是tao的奇函数

所以它们在0点处的值都是0

根据上述那个带入0和pai/2w得到那两个式子令tao=0

得到窄带随机过程和同向过程和正交过程在0点处的值都是0

即上述三个方差相等

又均值是0，所以也可以说上述三个具有相同的平均功率

综上所述：kesei(t)是高斯过程，则同向随机过程和正交随机过程一定也是高斯过程。你通过上面的可以推出来

一个均值是0的窄带平稳高斯过程，它的同向分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值是0，方差相同

接下来我们研究包络和相位的统计特性

书上52到53页是关于包络和相位的联合概率密度的推导公式

然后又分别求边际分布

得到的a kesei的分布是瑞利分布

faikesei是均匀分布

结论：一个均值为0的窄带平稳高斯过程，其包络是瑞利分布，相位是均匀分布，包络和相位是统计独立的

续：

高斯过程不一定是平稳过程

平稳过程不一定是高斯过程

同向分量和正交分量的一维概率密度函数

就是把均值和方差带入就行了

习题总结：

随机过程在工程上是：所有样本函数的集合，所有时刻随机变量的集合

误差函数和误差互补函数之和等于

窄带过程的数学描述是：包络相位形式，同相正交形式，指数形式

同向和正交分量过程在同一时刻的互相关函数是=0

同向和正交分量过程是平稳过程

同向和正交分量过程是高斯过程