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随机过程的基本概念随机过程的分布函数随机过程的数字特征 平稳随机过程平稳随机过程的定义各态历经性平稳过程的自相关函数平稳过程的功率谱密度 高斯随机过程定义高斯随机变量 平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程统计特性正弦波加窄带高斯噪声 高斯白噪声和带限白噪声白噪声低通白噪声带通白噪声

随机过程的基本概念

随机过程是所有样本函数的集合，从另外的角度看随机过程是随机变量的延伸，是在任意时刻的值是一个随机变量。也可称随机过程看成时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

随机过程的分布函数

设 ξ ( t ) \xi(t) ξ(t)为一个随机过程，它在任意时刻 t 1 t_1 t1​的值 ξ ( t 1 ) \xi(t_1) ξ(t1​)是一个随机变量，我们将 ξ ( t 1 ) \xi(t_1) ξ(t1​)小于或等于某一数值 x 1 x_1 x1​的概论记作：

F 1 ( x 1 , t 1 ) = P { ξ ( t 1 ) ≤ x 1 } F_1(x_1,t_1)=P\lbrace \xi(t_1)\leq x_1\rbrace F1​(x1​,t1​)=P{ξ(t1​)≤x1​}

则将：

f 1 ( x 1 , t 1 ) = ∂ F 1 ( x 1 , t 1 ) ∂ x 1 f_1(x_1,t_1)=\dfrac {\partial F_1(x_1,t_1)} {\partial x_1} f1​(x1​,t1​)=∂x1​∂F1​(x1​,t1​)​

称为一维概率密度函数，同样的我们可以将上列推广到n维：

F n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; t 1 , t 2 ⋯ , t n ) = P { ξ ( t 1 ) ≤ x 1 ξ ( t 2 ) ≤ x 2 ⋯ , ξ ( t n ) ≤ x n } f n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; t 1 , t 2 ⋯ , t n ) = ∂ n F n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; t 1 , t 2 ⋯ , t n ) ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ x n F_n(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2\cdots,t_n)= P\lbrace \xi(t_1)\leq x_1 \xi(t_2)\leq x_2 \cdots, \xi(t_n)\leq x_n \rbrace \\ \\ f_n(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2\cdots,t_n)= \dfrac {\partial^n F_n(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2\cdots,t_n)} {\partial x_1 \partial x_2 \cdots \partial x_n} Fn​(x1​,x2​,⋯,xn​;t1​,t2​⋯,tn​)=P{ξ(t1​)≤x1​ξ(t2​)≤x2​⋯,ξ(tn​)≤xn​}fn​(x1​,x2​,⋯,xn​;t1​,t2​⋯,tn​)=∂x1​∂x2​⋯∂xn​∂nFn​(x1​,x2​,⋯,xn​;t1​,t2​⋯,tn​)​

n越大，则对随机过程的描述越充分

随机过程的数字特征

均值

随机过程的均值（数学期望）定义为：

a ( t ) = E [ ξ ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ x f 1 ( x , t ) d t a(t)=E[\xi(t)]=\int_{-\infty}^\infty xf_1(x,t)dt a(t)=E[ξ(t)]=∫−∞∞​xf1​(x,t)dt

表示随机过程n个样本函数曲线的摆动中心

方差

σ 2 ( t ) = D [ ξ ( t ) ] = E { [ ξ ( t ) − a ( t ) ] 2 } \sigma^2(t)= D[ \xi(t) ]=E\lbrace [ \xi(t)-a(t) ]^2\rbrace σ2(t)=D[ξ(t)]=E{[ξ(t)−a(t)]2}

协方差

B ( t 1 , t 2 ) = E { [ ξ ( t 1 ) − a ( t 1 ) ] [ ξ ( t 2 ) − a ( t 2 ) ] } = R ( t 1 , t 2 ) − a ( t 1 ) a ( t 2 ) \begin{aligned} B(t_1,t_2)&=E \lbrace [ \xi(t_1)-a(t_1) ] [ \xi(t_2)-a(t_2) ] \rbrace \\ &=R(t_1,t_2) -a(t_1)a(t_2) \end{aligned} B(t1​,t2​)​=E{[ξ(t1​)−a(t1​)][ξ(t2​)−a(t2​)]}=R(t1​,t2​)−a(t1​)a(t2​)​

相关函数

R ( t 1 , t 2 ) = E [ ξ ( t 1 ) ξ ( t 2 ) ] R(t_1,t_2)=E[\xi(t_1)\xi(t_2)] R(t1​,t2​)=E[ξ(t1​)ξ(t2​)]

平稳随机过程

平稳随机过程的定义

如果一个随机过程的统计特性与时间起点无关，称为严平稳（狭义平稳）

但我们研究的一般为宽平稳（广义平稳），它的一维概率密度函数与t无关，二维概率密度只和时间间隔有关，即：

{ E [ ξ ( t ) ] = a R ( t 1 , t 2 ) = R ( τ ) \begin{cases} E[\xi(t)] &= a \\ R(t_1,t_2)&=R(\tau) \end{cases} {E[ξ(t)]R(t1​,t2​)​=a=R(τ)​

各态历经性

随机过程任意一次都经历了随机过程的所有可能状态，满足各态历经一定是平稳过程，其时间均值和时间相关函数分别定义为：

{ a ‾ = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 X ( T ) d t R ( τ ) ‾ = lim ⁡ T → ∞ ∫ − T / 2 T / 2 x ( t ) x ( t + τ ) d t \left\{ \begin{aligned} \overline{a} &= \lim_{T\to\infty} \dfrac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} X(T)dt \\ \\ \overline{R(\tau)} &=\lim_{T\to\infty} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)x(t+\tau)dt \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​aR(τ)​​=T→∞lim​T1​∫−T/2T/2​X(T)dt=T→∞lim​∫−T/2T/2​x(t)x(t+τ)dt​

如果平稳过程满足下列条件，则各态历经：

{ a = a ‾ R ( τ ) = R ( τ ) ‾ \left\{ \begin{aligned} a &= \overline{a} \\ R(\tau) &= \overline{R(\tau)} \end{aligned} \right. {aR(τ)​=a=R(τ)​​

平稳过程的自相关函数

我们知道稳态随机过程的自相关函数为:

R ( τ ) = E [ ξ ( t ) ξ ( t + τ ) ] R(\tau)=E[\xi(t)\xi(t+\tau)] R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]

具有以下性质：

R ( 0 ) = E [ ξ 2 ( t ) ] R(0)=E[\xi^2(t)] R(0)=E[ξ2(t)]，表示平均功率 R ( − τ ) = ∣ R ( τ ) ∣ R(-\tau)=\vert R(\tau)\vert R(−τ)=∣R(τ)∣，偶函数 R ( 0 ) ≥ ∣ R ( τ ) ∣ R(0)\geq\vert R(\tau)\vert R(0)≥∣R(τ)∣，时间差值为0时最相关 R ( ∞ ) = E 2 [ ξ ( t ) ] = a 2 R(\infty)=E^2[\xi(t)]=a^2 R(∞)=E2[ξ(t)]=a2，直流功率，完全不相关，分别统计 R ( 0 ) − R （ ∞ ） = σ 2 R(0)-R（\infty）=\sigma^2 R(0)−R（∞）=σ2,方差

平稳过程的功率谱密度

对于确定功率信号，功率谱密度定义为：

P X ( f ) = lim ⁡ T → ∞ ∣ X T ( f ) ∣ 2 T P_X(f)=\lim_{T\to\infty}\dfrac{|X_T(f)|^2}{T} PX​(f)=T→∞lim​T∣XT​(f)∣2​

对于随机信号而言，每一个样本对应一个功率谱密度，所以应该取所有样本得统计平均，即：

P ξ ( f ) = lim ⁡ T → ∞ E ∣ X T ( f ) ∣ 2 T P_\xi(f)=\lim_{T\to\infty}\dfrac{E|X_T(f)|^2}{T} Pξ​(f)=T→∞lim​TE∣XT​(f)∣2​

与确知信号相同，平稳随机信号自相关函数和功率谱密度也互为一对傅里叶变换关系，也称为维纳——辛钦定理：

{ P ξ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω τ d τ R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π P ξ ( ω ) e j ω τ d ω \left\{ \begin{aligned} P_\xi(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau \\ \\ R(\tau)&=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{2\pi} P_\xi(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​Pξ​(ω)R(τ)​=∫−∞∞​R(τ)e−jωτdτ=∫−∞∞​2π1​Pξ​(ω)ejωτdω​

或：

{ P ξ ( f ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω τ d τ R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ P ξ ( f ) e j ω τ d ω \left\{ \begin{aligned} P_\xi(f)&=\int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau \\ \\ R(\tau)&=\int_{-\infty}^{\infty} P_\xi(f)e^{j\omega\tau}d\omega \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​Pξ​(f)R(τ)​=∫−∞∞​R(τ)e−jωτdτ=∫−∞∞​Pξ​(f)ejωτdω​

由上面得定理我们可以得到以下结论：

平稳过程的平均功率：

R ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ P ξ ( f ) d f R(0)=\int_{-\infty}^{\infty}P_\xi(f)df R(0)=∫−∞∞​Pξ​(f)df各态历经过程任一样本函数得功率谱密度等于过程功率谱密度功率谱密度函数具有非负性和实偶性

高斯随机过程

定义

n维随机过程均服从正态分布，则称为高斯过程，其n维正态分布表示如下：

f n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; t 1 , t 2 , ⋯ , t n ) = 1 ( 2 π ) n / 2 ∏ σ n ∣ B ∣ 1 / 2 e x p [ − 1 2 ∣ B ∣ ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ∣ B ∣ j k ( x j − a j ) ( x k − a k ) σ j σ k ] f_n(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n)= \\ \\ \dfrac{1}{(2\pi)^{n/2}\prod\sigma_n|B|^{1/2}} exp \left[ -\dfrac{1}{2|B|} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} |B|_{jk} \dfrac{(x_j-a_j)(x_k-a_k)}{\sigma_j\sigma_k} \right] fn​(x1​,x2​,⋯,xn​;t1​,t2​,⋯,tn​)=(2π)n/2∏σn​∣B∣1/21​exp[−2∣B∣1​j=1∑n​k=1∑n​∣B∣jk​σj​σk​(xj​−aj​)(xk​−ak​)​]

其中：

a k = E [ ξ ( t k ) ] σ 2 = E [ ξ ( t k ) − a k ] 2 ∣ B ∣ = ∣ 1 b 12 ⋯ b 1 n b 21 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ 1 ∣ a_k=E[\xi(t_k)] \\ \\ \sigma^2=E[\xi(t_k)-a_k]^2 \\ \\ |B|= \left\vert \begin{matrix} 1&\quad b_{12}&\quad\cdots&\quad b_{1n}\\ b_{21}&\quad 1&\quad\cdots&\quad b_{2n}\\ \vdots&\quad\vdots&\quad\cdots&\quad\vdots \\ b_{n1}&\quad b_{n2}&\quad\cdots&\quad 1 \end{matrix} \right\vert ak​=E[ξ(tk​)]σ2=E[ξ(tk​)−ak​]2∣B∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1b21​⋮bn1​​b12​1⋮bn2​​⋯⋯⋯⋯​b1n​b2n​⋮1​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

∣ B ∣ j k |B|_{jk} ∣B∣jk​为代数余因子， b j k b_{jk} bjk​为归一化协方差函数：

b j k = E [ ξ ( t j ) − a j ] E [ ξ ( t k ) − a k ] σ j σ k b_{jk}=\dfrac{E[\xi(t_j)-a_j] E[\xi(t_k)-a_k]}{\sigma_j\sigma_k} bjk​=σj​σk​E[ξ(tj​)−aj​]E[ξ(tk​)−ak​]​

重要性质

对于一般随机过程而言，独立必无关，但反之未必成立；高斯随机两者是等价的。广义平稳的高斯过程也是严平稳的 b j k = 0 b_{jk}=0 bjk​=0则可化简为：

f n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; t 1 , t 2 , ⋯ , t n ) = ∏ k = 1 n 1 2 π σ k e x p [ − ( x k − a k ) 2 2 σ k 2 ] = f ( x 1 , t 1 ) f ( x 1 , t 1 ) ⋯ f ( x n , t n ) f_n(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n)= \prod_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_k}exp \left[ -\dfrac{(x_k-a_k)^2}{2\sigma_k^2} \right] \\ \\=f(x_1,t_1) f(x_1,t_1) \cdots f(x_n,t_n) fn​(x1​,x2​,⋯,xn​;t1​,t2​,⋯,tn​)=k=1∏n​2π ​σk​1​exp[−2σk2​(xk​−ak​)2​]=f(x1​,t1​)f(x1​,t1​)⋯f(xn​,tn​)高斯过程线性变换后仍然是高斯过程

高斯随机变量

高斯过程的一维概率密度函数为：

f ( x ) = 1 2 π σ k e x p ( − ( x k − a k ) 2 2 σ k 2 ) f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_k}exp \left( -\dfrac{(x_k-a_k)^2}{2\sigma_k^2} \right) f(x)=2π ​σk​1​exp(−2σk2​(xk​−ak​)2​)

关于x=a对称 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1 ∫−∞∞​f(x)dx=1

定义误差函数:

e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t erf(x)=\dfrac{2}{\sqrt\pi}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt erf(x)=π ​2​∫0x​e−t2dt

可得误差函数

递增奇函数 e r f ( 0 ) = 0 e r f ( ∞ ) = 1 erf(0)=0 erf(\infty)=1 erf(0)=0erf(∞)=1

其互补误差函数表示为：

e r f c ( x ) = 1 − e r f ( x ) = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t erfc(x)=1-erf(x)=\dfrac{2}{\sqrt\pi}\int_{x}^{\infty}e^{-t^2}dt erfc(x)=1−erf(x)=π ​2​∫x∞​e−t2dt

当x>2时，互补误差函数可近似为:

e r f c ( x ) ≈ 1 x π e − x 2 erfc(x)\approx\dfrac{1}{x\sqrt{\pi}}e^{-x^2} erfc(x)≈xπ ​1​e−x2

定义高斯曲线尾部下的面积函数:

Q ( x ) = 1 2 π ∫ x ∞ e − t 2 / 2 d t Q(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^2/2}dt Q(x)=2π ​1​∫x∞​e−t2/2dt

平稳随机过程通过线性系统

为研究输入过程是平稳的，输出过程是否也是平稳的。输入与输出的关系可以表示为卷积，即：

v o ( t ) = v i ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞ v i ( τ ) h ( t − τ ) d τ v_o(t)=v_i(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}v_i(\tau)h(t-\tau)d\tau vo​(t)=vi​(t)∗h(t)=∫−∞∞​vi​(τ)h(t−τ)dτ

或:

v o ( t ) = h ( t ) ∗ v i ( t ) = ∫ − ∞ ∞ v i ( t − τ ) h ( τ ) d τ v_o(t)=h(t)*v_i(t)=\int_{-\infty}^{\infty}v_i(t-\tau)h(\tau)d\tau vo​(t)=h(t)∗vi​(t)=∫−∞∞​vi​(t−τ)h(τ)dτ

对于随机过程也满足：

ξ o ( t ) = ∫ − ∞ ∞ ξ i ( t − τ ) h ( τ ) d τ \xi_o(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\xi_i(t-\tau)h(\tau)d\tau ξo​(t)=∫−∞∞​ξi​(t−τ)h(τ)dτ

输出过程的均值:

E [ ξ o ( t ) ] = a ⋅ ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) d x = a H ( 0 ) E[\xi_o(t)]=a\cdot \int_{-\infty}^{\infty}h(\tau) \,dx =aH(0) E[ξo​(t)]=a⋅∫−∞∞​h(τ)dx=aH(0)输出过程的自相关函数仅仅和时间差有关；即线性系统输入是平稳的，输出也是平稳的输出过程功率谱密度:

P o ( f ) = ∣ H ( f ) ∣ 2 P i ( f ) P_o(f)=|H(f)|^2P_i(f) Po​(f)=∣H(f)∣2Pi​(f)

即高斯过程经过线性变换后仍然是高斯过程

窄带随机过程

如果随机过程的频谱密度在中心频率 f C f_C fC​附近相对窄的频带范围 Δ f \Delta f Δf内，且满足 Δ f ≪ f c \Delta f\ll\,f_c Δf≪fc​，称为窄带随机过程，可表示为：

ξ ( t ) = a ξ ( t ) c o s [ ω c t + φ ξ ( t ) ] \xi(t)=a_\xi(t)cos[\omega_c\,t + \varphi_\xi(t)] ξ(t)=aξ​(t)cos[ωc​t+φξ​(t)]

其中：

a ξ ( t ) a_\xi(t) aξ​(t)为窄带随机过程的随机包络，且不小于0 φ ξ ( t ) \varphi_\xi(t) φξ​(t)为随机相位 ω c \omega_c ωc​为中心角频率

我们也可以展开为：

ξ ( t ) = ξ c ( t ) cos ⁡ ω c t − ξ s ( t ) sin ⁡ ω c t \xi(t)=\xi_c(t)\cos\omega_c t- \xi_s(t)\sin\omega_c t ξ(t)=ξc​(t)cosωc​t−ξs​(t)sinωc​t

其中：

{ ξ c ( t ) = a ξ ( t ) cos ⁡ φ ξ ( t ) 同 向 分 量 ξ s ( t ) = a ξ ( t ) sin ⁡ φ ξ ( t ) 正 交 分 量 \begin{cases} \xi_c(t)&=&a_\xi(t)\cos\varphi_\xi(t) \quad同向分量 \\ \xi_s(t)&=&a_\xi(t)\sin\varphi_\xi(t) \quad正交分量 \end{cases} {ξc​(t)ξs​(t)​==​aξ​(t)cosφξ​(t)同向分量aξ​(t)sinφξ​(t)正交分量​

统计特性

ξ c ( t ) \xi_c(t) ξc​(t)与 ξ s ( t ) \xi_s(t) ξs​(t)

窄带随机的和其同相分量与正交分量均值为0窄带过程是平稳的，其同向分量和正交分量也是平稳的 { R c ( τ ) = R s ( τ ) R c s ( τ ) = − R s c ( τ ) R c s ( τ ) = R s c ( − τ ) R s c ( τ ) = − R s c ( − τ ) \begin{cases} R_c(\tau)=R_s(\tau) \\ R_{cs}(\tau)=-R_{sc}(\tau) \\ R_{cs}(\tau)=R_{sc}(-\tau) \\ R_{sc}(\tau)=-R_{sc}(-\tau) \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​Rc​(τ)=Rs​(τ)Rcs​(τ)=−Rsc​(τ)Rcs​(τ)=Rsc​(−τ)Rsc​(τ)=−Rsc​(−τ)​均值为0的窄带平稳高斯过程，其同向分量和正交分量都是平稳高斯过程，均值为0，方差相等，同一时刻两者互不相关或独立统计

a ξ ( t ) 与 φ ξ ( t ) a_\xi(t)与\varphi_\xi(t) aξ​(t)与φξ​(t)

由上一点可知：

f ( ξ c , ξ s ) = f ( ξ c ) f ( ξ s ) = 1 2 π δ ξ 2 e x p [ − ξ c 2 + ξ s 2 2 σ ξ 2 ] f(\xi_c,\xi_s)=f(\xi_c)f(\xi_s)= \dfrac{1}{2\pi \delta_\xi^2}exp \left[ -\dfrac{\xi_c^2+\xi_s^2}{2\sigma_\xi^2} \right] f(ξc​,ξs​)=f(ξc​)f(ξs​)=2πδξ2​1​exp[−2σξ2​ξc2​+ξs2​​]

由雅可比行列式变换得：

f ( a ξ , φ ξ ) = a ξ f ( ξ c , ξ s ) = a ξ 2 π δ ξ 2 e x p [ − a ξ 2 2 σ ξ 2 ] f(a_\xi,\varphi_\xi)=a_\xi f(\xi_c,\xi_s) = \dfrac{a_\xi}{2\pi \delta_\xi^2}exp \left[ -\dfrac{a_\xi^2}{2\sigma_\xi^2} \right] f(aξ​,φξ​)=aξ​f(ξc​,ξs​)=2πδξ2​aξ​​exp[−2σξ2​aξ2​​]

a ξ a_\xi aξ​$的一维概率密度函数服从瑞利分布：

f ( a ξ ) = a ξ δ ξ 2 [ − a ξ 2 2 σ x i 2 ] a ξ ≥ 0 f(a_\xi)=\dfrac{a_\xi}{\delta_\xi^2} \left[ -\dfrac{a_\xi^2}{2\sigma_xi^2} \right] \quad a_\xi\geq0 f(aξ​)=δξ2​aξ​​[−2σx​i2aξ2​​]aξ​≥0

φ ξ \varphi_\xi φξ​一维概率密度函数服从均匀分布：

f ( φ ξ ) = 1 2 π 0 ≤ φ ξ ≤ 2 π f(\varphi_\xi)=\dfrac{1}{2\pi} \quad 0\leq\varphi_\xi\leq2\pi f(φξ​)=2π1​0≤φξ​≤2π

即均值为0，方差为 σ ξ 2 \sigma_\xi^2 σξ2​的窄带平稳高斯过程其包络一维概率分布是瑞利分布，相位是均匀分布，且两者独立统计

正弦波加窄带高斯噪声

设正弦波加窄带高斯噪声的混合信号为：

r ( t ) = A cos ⁡ ( ω c t + θ ) + n ( t ) r(t)=A\cos(\omega_ct+\theta)+n(t) r(t)=Acos(ωc​t+θ)+n(t)

其中：

n ( t ) = n c ( t ) cos ⁡ ω c t − n s ( t ) sin ⁡ ω c t n(t)=n_c(t)\cos\omega_ct- n_s(t)\sin\omega_ct n(t)=nc​(t)cosωc​t−ns​(t)sinωc​t

为窄带高斯噪声，则，混合信号展开可得：

r ( t ) = [ A cos ⁡ θ + n c ( t ) ] cos ⁡ ω c t − [ A sin ⁡ θ + n s ( t ) ] sin ⁡ ω c t = z c ( t ) cos ⁡ ω c t − z s ( t ) sin ⁡ ω c t = z ( t ) c o s [ ω c t + φ ( t ) ] \begin{aligned} r(t) &= [A\cos\theta+n_c(t)]\cos\omega_ct- [A\sin\theta+n_s(t)]\sin\omega_ct \\ &=z_c(t)\cos\omega_ct-z_s(t)\sin\omega_ct \\ &=z(t)cos[\omega_ct+\varphi(t)] \end{aligned} r(t)​=[Acosθ+nc​(t)]cosωc​t−[Asinθ+ns​(t)]sinωc​t=zc​(t)cosωc​t−zs​(t)sinωc​t=z(t)cos[ωc​t+φ(t)]​

则r(t)的包络和相位得:

z ( t ) = z c 2 ( t ) + z s 2 ( t ) z ≥ 0 φ ( t ) = arctan ⁡ z s ( t ) z c ( t ) 0 ≤ φ ≤ 2 π z(t)=\sqrt{z_c^2(t)+z_s^2(t)}\qquad z\geq0 \\ \\ \varphi(t)=\arctan\dfrac{z_s(t)}{z_c(t)} \qquad 0\leq\varphi\leq2\pi z(t)=zc2​(t)+zs2​(t) ​z≥0φ(t)=arctanzc​(t)zs​(t)​0≤φ≤2π

当我们给定 θ \theta θ角时，包络线得概率密度函数为：

f ( z ) = z σ n 2 exp ⁡ [ − 1 2 σ n 2 ( z 2 + A 2 ) ] I 0 ( A z σ n 2 ) z ≥ 0 f(z)=\dfrac{z}{\sigma_n^2}\exp \left[ -\dfrac{1}{2\sigma_n^2} (z^2+A^2) \right] I_0 \left( \dfrac{A_z}{\sigma_n^2} \right) \qquad z\geq 0 f(z)=σn2​z​exp[−2σn2​1​(z2+A2)]I0​(σn2​Az​​)z≥0

得到的概率密度函数为广义瑞利分布，又称莱斯分布，其中：

I 0 ( x ) = 1 2 π ∫ 0 2 π exp ⁡ [ x cos ⁡ φ ] d φ I_0(x)= \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \exp [x\cos\varphi]\,d\varphi I0​(x)=2π1​∫02π​exp[xcosφ]dφ

为第一类零阶修正贝塞尔函数，当大于零时 I 0 ( x ) I_0(x) I0​(x)单调上升，且有 I 0 ( 0 ) = 1 I_0(0)=1 I0​(0)=1

当信号很小，即信噪比 γ = A 2 2 σ n 2 → 0 \gamma=\dfrac{A^2}{2\sigma_n^2}\to 0 γ=2σn2​A2​→0，分布退化为瑞利分布

当信号很大，分布接近高斯分布

高斯白噪声和带限白噪声

白噪声

如果噪声的功率谱密度在所有的频率上为一常数，其单边带表示为：

P n ( f ) = n 0 2 ( − ∞ < f < + ∞ ) ( W / H z ) P_n(f)=\dfrac{n_0}{2}\qquad (-\infty<f<+\infty)\quad (W/Hz) Pn​(f)=2n0​​(−∞<f<+∞)(W/Hz)

则这样的噪声3为白噪声

则其自相关函数为：

R ( τ ) = n 0 2 δ ( τ ) R(\tau)=\dfrac{n_0}{2}\delta(\tau) R(τ)=2n0​​δ(τ)

易得其平均功率为无穷大

低通白噪声

如果白噪声通过了低通滤波器，则称输出的噪声为低通白噪声，其功率谱密度为：

P ( f ) = { n 0 2 ∣ f ∣ ≤ f H 0 e l s e P(f)= \left\{ \begin{aligned} &\dfrac{n_0}{2}\qquad&|f|\leq f_H\\ \\ &0 \qquad &else \end{aligned} \right. P(f)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​​2n0​​0​∣f∣≤fH​else​

可以看出功率谱密度为门函数

带通白噪声

假设理想带通滤波器传输特性为：

H ( f ) = { 1 f c − B 2 ≤ ∣ f ∣ ≤ f c + B 2 0 e l s e H(f)= \left\{ \begin{aligned} &1\qquad f_c-\dfrac{B}{2}\leq|f|\leq f_c+\dfrac{B}{2}\\ &0\qquad else \end{aligned} \right. H(f)=⎩⎨⎧​​1fc​−2B​≤∣f∣≤fc​+2B​0else​

则输出的噪声功率谱密度为：

P ( f ) = { n 0 2 f c − B 2 ≤ ∣ f ∣ ≤ f c + B 2 0 e l s e P(f)= \left\{ \begin{aligned} &\dfrac{n_0}{2}\qquad f_c-\dfrac{B}{2}\leq|f|\leq f_c+\dfrac{B}{2}\\ \\ &0\qquad else \end{aligned} \right. P(f)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​​2n0​​fc​−2B​≤∣f∣≤fc​+2B​0else​

自相关函数为：

R ( τ ) = n 0 B sin ⁡ π B τ π B τ cos ⁡ 2 π f c τ R(\tau)=n_0B\frac{\sin\pi B\tau}{\pi B\tau}\cos2\pi f_c\tau R(τ)=n0​BπBτsinπBτ​cos2πfc​τ

由于通常滤波器 B ≪ f c B\ll f_c B≪fc​，故也把带通白噪声叫做窄带高斯白噪声

其平均功率易得：

N = n 0 B N=n_0B N=n0​B