一、伯努利概型

在许多问题中，我们对试验感兴趣的是试验中某事件AAA是否发生。在这类问题中，我们可以把事件域取为F={∅,A,Aˉ,Ω}\mathcal F=\{\emptyset, A, \bar A, \Omega\}F={∅,A,Aˉ,Ω}，这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验。

在伯努利试验中，首先要给出下面概率：P(A)=p,P(Aˉ)=q(1)P(A)=p, P(\bar A)=q\tag1P(A)=p,P(Aˉ)=q(1)

其中，p≥0,q≥0,p+q=1p\ge0, q\ge0, p+q=1p≥0,q≥0,p+q=1

现在考虑重复进行nnn次独立的伯努利试验，这里的重复是指每次试验中事件AAA出现的概率都不变，这样的试验称为nnn重伯努利试验，记作EnE^nEn。它有以下4个约定：

每次试验至多出现两个可能结果之一：AAA和Aˉ\bar AAˉAAA在每次试验中出现的概率ppp保持不变各次试验相互独立共进行nnn次试验

nnn重伯努利试验EnE^nEn的样本点形如：(A1^,A2^,⋯,An^)(\hat {A_1}, \hat {A_2}, \cdots, \hat {A_n})(A1​^​,A2​^​,⋯,An​^​)，其中Ai^\hat {A_i}Ai​^​是AiA_iAi​或Aiˉ\bar{A_i}Ai​ˉ​，分别表示第iii次试验中出现AAA或Aˉ\bar AAˉ，显然这种样本点共有2n2^n2n个，这是一个有限的样本空间。假设nnn次试验中出现lll次事件AAA，那么会有n−ln-ln−l次事件Aˉ\bar AAˉ，从而可以得到相应的概率为：P(A1^,A2^,⋯,An^)=plqn−l(2)P(\hat {A_1}, \hat {A_2}, \cdots, \hat {A_n})=p^lq^{n-l}\tag2P(A1​^​,A2​^​,⋯,An​^​)=plqn−l(2)

以伯努利试验为模型探讨机票超售问题。每个订座旅客当作一次试验，则他不登机记作事件AAA，登机记作事件Aˉ\bar AAˉ，P(A)P(A)P(A)可以由过去统计资料得出。主要的难点在于能否把旅客是否登机看作是独立的，显然对于购买团体票的旅客作此假定是不适合的。此外，大型的交通堵塞等偶然事件也会使这个假定偏离，不过在一般场合作此假定还是合理的。那么全体订座旅客数nnn作为试验总数，这便构成伯努利概型。

二、伯努利概型中的一些分布

2.1 伯努利分布

若只进行一次试验，或者事件AAA出现，或者不出现，其概率由(1)(1)(1)式给出，称为伯努利分布。

2.2 二项分布

假设进行了nnn重伯努利试验，以b(k;n,p)b(k;n,p)b(k;n,p)记作事件AAA出现kkk次的概率，很容易可以计算得到：b(k;n,p)=Cnkpkqn−k,k=0,1,2⋯,n(3)b(k;n,p)=C_n^kp^kq^{n-k}, k=0,1,2\cdots,n\tag3b(k;n,p)=Cnk​pkqn−k,k=0,1,2⋯,n(3)

注意到b(k;n,p),k=0,1,2⋯,nb(k;n,p), k=0,1,2\cdots,nb(k;n,p),k=0,1,2⋯,n是二项式(q+ps)n(q+ps)^n(q+ps)n展开式中sks^ksk项的系数，所以(3)(3)(3)被称为二项分布。

2.3 几何分布

假设进行了nnn重伯努利试验，以g(k;p)g(k;p)g(k;p)记作事件AAA首次出现在第kkk次试验的概率，那么前k−1k-1k−1次都出现事件Aˉ\bar AAˉ，所以g(k;p)=qk−1p,k=1,2,⋯,n(4)g(k;p)=q^{k-1}p, k=1, 2, \cdots, n\tag4g(k;p)=qk−1p,k=1,2,⋯,n(4)

g(k;p)g(k;p)g(k;p)是几何级数的一般项，所以(4)(4)(4)称为几何分布。

2.3 帕斯卡分布

假设进行了nnn重伯努利试验，以f(k;r,p)f(k;r,p)f(k;r,p)记作第rrr次成功出现在第kkk次试验，则必有k≥rk\ge rk≥r，很容易计算得：f(k;r,p)=Ck−1r−1pr−1qk−rp=Ck−1r−1prqk−r(5)f(k;r,p)=C_{k-1}^{r-1}p^{r-1}q^{k-r}p=C_{k-1}^{r-1}p^{r}q^{k-r}\tag 5f(k;r,p)=Ck−1r−1​pr−1qk−rp=Ck−1r−1​prqk−r(5)

f(k;r,p)f(k;r,p)f(k;r,p)成为帕斯卡分布，特别当r=1r=1r=1时，我们得到几何分布。

2.4 多项分布

二项分布可以很容易的推广到nnn次重复独立试验且每次试验可能有若干个结果的情形。把每次试验的可能结果记为A1,A2,⋯,ArA_1, A_2, \cdots, A_rA1​,A2​,⋯,Ar​，P(Ai)=pi,i=1,2,⋯,rP(A_i)=p_i, i=1, 2, \cdots, rP(Ai​)=pi​,i=1,2,⋯,r，且p1+p2+⋯+pr=1,pi≥0p_1+p_2+\cdots+p_r=1, p_i\ge0p1​+p2​+⋯+pr​=1,pi​≥0，当r=2r=2r=2时，就是伯努利试验。

在这种推广的伯努利试验中，我们不难得出在nnn次试验中，A1A_1A1​出现k1k_1k1​次，A2A_2A2​出现k2k_2k2​次，ArA_rAr​出现krk_rkr​次的概率为：n!k1!k2!⋯kr!p1k1p2k2⋯prkr(6)\frac{n!}{k_1! k_2!\cdots k_r!}p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}\tag6k1​!k2​!⋯kr​!n!​p1k1​​p2k2​​⋯prkr​​(6)

(6)(6)(6)式称为多项分布。

2.5 泊松分布

在伯努利试验中，nnn很大，ppp很小，但λ=np\lambda=npλ=np大小适中。在独立试验中，以pnp_npn​代表事件AAA在试验中出现的概率，它与试验总数nnn有关，如果npn⟶λnp_n\longrightarrow\lambdanpn​⟶λ，则当n⟶∞n\longrightarrow \inftyn⟶∞时，b(k;n,p)⟶λkk!e−λ(7)b(k;n,p)\longrightarrow\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\tag7b(k;n,p)⟶k!λk​e−λ(7)

证明：

记λn=npn\lambda_n=np_nλn​=npn​，则b(k;n,pn)=Cnkpnk(1−pn)n−k=n(n−1)⋯(n−k+1)k!(λnn)k(1−λnn)n−k=λnkk!(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)(1−λn)n−kb(k;n,p_n)=C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}(\frac{\lambda_n}{n})^k(1-\frac{\lambda_n}{n})^{n-k}=\frac{\lambda_n^k}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}b(k;n,pn​)=Cnk​pnk​(1−pn​)n−k=k!n(n−1)⋯(n−k+1)​(nλn​​)k(1−nλn​​)n−k=k!λnk​​(1−n1​)(1−n2​)⋯(1−nk−1​)(1−nλ​)n−k

而对于固定的kkk，n⟶∞n\longrightarrow \inftyn⟶∞时，lim⁡n⟶∞λnk=λk\lim\limits_{n\longrightarrow \infty}\lambda_n^k=\lambda^kn⟶∞lim​λnk​=λk，lim⁡n⟶∞(1−λn)n−k=e−λ\lim\limits_{n\longrightarrow \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=e^{-\lambda}n⟶∞lim​(1−nλ​)n−k=e−λ，lim⁡n⟶∞(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)=1\lim\limits_{n\longrightarrow \infty}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})=1n⟶∞lim​(1−n1​)(1−n2​)⋯(1−nk−1​)=1

所以有b(k;n,p)⟶λkk!e−λb(k;n,p)\longrightarrow\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}b(k;n,p)⟶k!λk​e−λ。

记p(k;λ)=λkk!e−λ,k=0,1,2⋯(8)p(k;\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2\cdots\tag8p(k;λ)=k!λk​e−λ,k=0,1,2⋯(8)

(8)(8)(8)式称为泊松分布，λ\lambdaλ称为它的参数。

注意到∑k=0∞p(k;λ)=1\sum\limits_{k=0}^\infty p(k;\lambda)=1k=0∑∞​p(k;λ)=1。