量子隐形传态过程的推导（Quantum teleportation）

本文的出处是来自 Michael A.Nielsen和Isaac L.Chuang合著的《Quantum Computation and Quantum Information》。文中可能会存在些许的差错，请大家谅解。

背景介绍

假设Alice和Bob有一对共享的EPR对, ∣β00⟩=∣00⟩+∣11⟩2|\beta_{00}\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}∣β00​⟩=2​∣00⟩+∣11⟩​，现在Alice得到了一个未知的量子态∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩ 其中，∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1∣α∣2+∣β∣2=1。 然后， Alice可以对自己手中的EPR对的其中一个和∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩进行操作，并且拥有一个经典信道与Bob进行通信，问题是Bob该如何得到这个未知的量子态∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩。

隐形传态电路图¹

量子隐形传态过程的推导

∣ψ0⟩=∣ψ⟩∣β00⟩=(α∣0⟩+β∣1⟩)⊗12[∣00⟩+∣11⟩]|\psi_0\rangle=|\psi\rangle|\beta_{00}\rangle=(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}[|00\rangle+|11\rangle]∣ψ0​⟩=∣ψ⟩∣β00​⟩=(α∣0⟩+β∣1⟩)⊗2​1​[∣00⟩+∣11⟩]

=12[α∣0⟩(∣00⟩+∣11⟩)+β∣1⟩(∣00⟩+∣11⟩)]= \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha|0\rangle(|00\rangle+|11\rangle)+\beta|1\rangle(|00\rangle+|11\rangle)]=2​1​[α∣0⟩(∣00⟩+∣11⟩)+β∣1⟩(∣00⟩+∣11⟩)]

经过CNOT=∣0⟩⟨0∣⊗I+∣1⟩⟨1∣⊗XCNOT=|0\rangle\langle0| \otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes XCNOT=∣0⟩⟨0∣⊗I+∣1⟩⟨1∣⊗X门作用正在∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 和Alice 持有的EPR对其中一个，我们可以得到：

∣ψ1⟩=12[α∣0⟩([∣00⟩+∣11⟩)+β∣1⟩([∣10⟩+∣01⟩)]|\psi_1\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha|0\rangle([|00\rangle+|11\rangle)+\beta|1\rangle([|10\rangle+|01\rangle)]∣ψ1​⟩=2​1​[α∣0⟩([∣00⟩+∣11⟩)+β∣1⟩([∣10⟩+∣01⟩)]

然后经过Hadamard 变换，

∣ψ2⟩=12[α∣0⟩+∣1⟩2([∣00⟩+∣11⟩)+β∣0⟩−∣1⟩2([∣10⟩+∣01⟩)]|\psi_2\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} ([|00\rangle+|11\rangle)+\beta\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}([|10\rangle+|01\rangle)]∣ψ2​⟩=2​1​[α2​∣0⟩+∣1⟩​([∣00⟩+∣11⟩)+β2​∣0⟩−∣1⟩​([∣10⟩+∣01⟩)]

对∣ψ2⟩|\psi_2\rangle∣ψ2​⟩进行重新整理，我们可以得到

∣ψ2⟩=12[∣00⟩(α∣0⟩+β∣1⟩)+∣01⟩(α∣1⟩+β∣0⟩)+∣10⟩(α∣0⟩−β∣1⟩)+∣11⟩(α∣1⟩−β∣0⟩)]|\psi_2\rangle=\frac{1}{2}[|00\rangle(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)+|01\rangle(\alpha|1\rangle+\beta|0\rangle)+|10\rangle(\alpha|0\rangle-\beta|1\rangle)+|11\rangle(\alpha|1\rangle-\beta|0\rangle)]∣ψ2​⟩=21​[∣00⟩(α∣0⟩+β∣1⟩)+∣01⟩(α∣1⟩+β∣0⟩)+∣10⟩(α∣0⟩−β∣1⟩)+∣11⟩(α∣1⟩−β∣0⟩)]

此时我们可以对Alice手中的两个态进行测量，根据测量结果我们可以得到关于Bob持有量子态的信息

此时Alice将得到得测量结果发送给Bob,Bob根据得到的测量结果分别对自己手中的量子态进行X和Z门。此时Bob手中原先的EPR对中的其中一个变成了∣ψ4⟩=∣ψ⟩|\psi_4\rangle=|\psi\rangle∣ψ4​⟩=∣ψ⟩。

图片来自《Quantum Computation and Quantum Information》 ↩︎