一、分类
1）连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统的数学模型用微分方程描述
离散时间系统的数学模型用差分方程描述
2）即时系统与动态系统
即时系统：当前输出只有当前输入有关，与过去的输入无关。
动态系统：当前输出不仅与当前输入有关，还与过去的输入有关。
3）线性系统与非线性系统
线性系统：具有叠加性与均匀性（齐次性）的系统
非线性系统：不满足叠加性或均匀性的系统。
4）时变系统与时不变系统
时变系统：系统参数随时间变化的系统。
时不变系统：系统参数不随时间变化的系统。
5）因果系统与非因果系统
因果系统是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻之前输入的系统。如果系统现在的输出还取决与未来的输入，则不符合因果关系，是非因果系统，是不实际的系统。
因果系统的充要条件是：单位冲激响应h(n) = 0, n<0 。 即系统的输出与n<0时刻无关。
二、离散时间系统
2.1、离散时间线性系统
1、可加性
若 y 1 ( n ) = T [ x 1 ( n ) ] , y 2 ( n ) = T [ x 2 ( n ) ] y_1(n) = T[x_1(n)],y_2(n) = T[x_2(n)] y1(n)=T[x1(n)],y2(n)=T[x2(n)]
则 y 1 ( n ) + y 2 ( n ) = T [ x 1 ( n ) ] + T [ x 2 ( n ) ] = T [ x 1 ( n ) + x 2 ( n ) ] y_1(n)+y_2(n)=T[x_1(n)]+T[x_2(n)]=T[x_1(n)+x_2(n)] y1(n)+y2(n)=T[x1(n)]+T[x2(n)]=T[x1(n)+x2(n)]
2、比例性
a 1 y 1 ( n ) = a 1 T [ x 1 ( n ) ] = T [ a 1 x 1 ( n ) ] a_1y_1(n)=a_1T[x_1(n)]=T[a_1x_1(n)] a1y1(n)=a1T[x1(n)]=T[a1x1(n)]
a 2 y 2 ( n ) = a 2 T [ x 2 ( n ) ] = T [ a 2 x 2 ( n ) ] a_2y_2(n)=a_2T[x_2(n)]=T[a_2x_2(n)] a2y2(n)=a2T[x2(n)]=T[a2x2(n)]
a 1 y 1 ( n ) + a 2 y 2 ( n ) = a 1 T [ x 1 ( n ) ] + a 2 T [ x 2 ( n ) ] = T [ a 1 x 1 ( n ) ] + T [ a 2 x 2 ( n ) ] a_1y_1(n)+a_2y_2(n)=a_1T[x_1(n)]+a_2T[x_2(n)]=T[a_1x_1(n)]+T[a_2x_2(n)] a1y1(n)+a2y2(n)=a1T[x1(n)]+a2T[x2(n)]=T[a1x1(n)]+T[a2x2(n)]
注：
1、线性方程不一定是线性系统，如y(n)=4x(n)+6,它是增量线性系统。
2、系统是线性，那么在全部时间上，零输入等于零输出。
2.2、离散时间移不变系统
1、定义
系统参数是不随时间而变化的，即系统响应与激励加于系统的时刻无关。
若 T[x(n)]=y(n)
则 T [ x ( n − n 0 ) ] = y ( n − n 0 ) T[x(n-n_0)]=y(n-n_0) T[x(n−n0)]=y(n−n0)
2、若系统有一个移变的增益，如y(n)=nx(n)，则系统一定是移变系统。
3、若系统在时间轴上有压缩和扩展，如y(n)=x(Mn)，则系统一定是移变系统。
三、离散时间线性移不变系统（LSI系统）表示法
3.1 时域描述（时域分析）
3.1.1 单位抽样响应表示法
1、单位抽样响应表示法：当系统输入为单位抽样序列 δ ( n ) \delta(n) δ(n)时，LSI系统输出序列为h(n)，即：
h ( n ) = T [ δ ( n ) ] h(n)=T[\delta(n)] h(n)=T[δ(n)]
2、利用卷积和关系描述
LSI系统输入为x(n),输出为y(n),得：
y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) h ( n − m ) = ∑ m = − ∞ ∞ h ( m ) x ( n − m ) y(n) = x(n)*h(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}{x(m)h(n-m)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}{h(m)x(n-m)} y(n)=x(n)∗h(n)=m=−∞∑∞x(m)h(n−m)=m=−∞∑∞h(m)x(n−m)
理解：当输入序列x(n)与h(n)的卷积得到输出响应y(n)，所以h(n)描述了系统应有的特性，即系统得到正确的表示（描述）。
3、递推法求解
3.1.2 常系数线性差分方程
模型如下：
∑ k = 0 N a k y ( n − k ) = ∑ m = 0 M b m x ( n − m ) \sum_{k=0}^N{a_k y(n-k)} = \sum_{m=0}^M{b_m x(n-m)} k=0∑Naky(n−k)=m=0∑Mbmx(n−m)
或
y ( n ) = ∑ m = 0 M b m x ( n − m ) − ∑ k = 1 N a k y ( n − k ) y(n) = \sum_{m=0}^M{b_m x(n-m)} - \sum_{k=1}^N{a_k y(n-k)} y(n)=m=0∑Mbmx(n−m)−k=1∑Naky(n−k)
所谓线性是指各输出y(n-k)项及各输入x(n-m)项都只有一次幂且不存在它们的相乘项，否则就是非线性的。
求解：
方法一：时域经典解法(求其次解与特解)
方法二：迭代法(递推法)
方法三：变换域方法(z变换)
3.2 变换域描述（频域分析）
3.2.1 系统函数H(z)
H ( z ) = ϝ [ h ( n ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ h ( n ) z − n H(z) = \digamma[h(n)] = \sum_{n=-\infty}^\infty{h(n)z^{-n}} H(z)=ϝ[h(n)]=n=−∞∑∞h(n)z−n
此时，在z域输入输出关系为
Y ( z ) = X ( z ) H ( z ) Y(z) = X(z)H(z) Y(z)=X(z)H(z)
当系统的起始状态为零时，将3.1.2节常系数差分方程等式两端取z变换可得：
H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = ∑ m = 0 M b m z − m 1 + ∑ k = 1 N a k z − k = ∑ m = 0 M b m z − m ∑ k = 0 N a k z − k H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{m=0}^M{b_mz^{-m}}}{1+\sum_{k=1}^N{a_kz^{-k}}} = \frac{\sum_{m=0}^M{b_mz^{-m}}}{\sum_{k=0}^N{a_kz^{-k}}} H(z)=X(z)Y(z)=1+∑k=1Nakz−k∑m=0Mbmz−m=∑k=0Nakz−k∑m=0Mbmz−m
除了由各个 a k a_k ak、 b m b_m bm决定特性外，还必须给定收敛域范围，才能唯一的确定一个LSI系统。
通过分子分母多项式因式分解可以改写为：
H ( z ) = G ∏ r = 1 M ( 1 − z r z − 1 ) ∏ k = 1 N ( 1 − p k z − 1 ) H(z) = G \frac{\prod_{r=1}^M(1-z_rz^{-1})}{\prod_{k=1}^N(1-p_kz^{-1})} H(z)=G∏k=1N(1−pkz−1)∏r=1M(1−zrz−1)
其中 z r z_r zr是H(z)的零点， p k p_k pk是H(z)的极点。
3.2.2 频域响应表征
若系统函数在z平面单位圆内收敛，则当 z = e j w z=e^{jw} z=ejw时 H ( z ) ∣ z = e j w = H e j w H(z)|_{z=e^{jw}}=H{e^{jw}} H(z)∣z=ejw=Hejw存在，称之为系统的频率响应。
用差分方程表征：
H ( e j w ) = Y ( e j w ) X ( e j w ) = ∑ n = − ∞ ∞ h ( n ) e e j w n H(e^{jw}) = \frac{Y(e^{jw})}{X(e^{jw})} = \sum_{n=-\infty}^\infty{h(n)e^{ejwn}} H(ejw)=X(ejw)Y(ejw)=n=−∞∑∞h(n)eejwn
用差分方程各系数 a k a_k ak、 b m b_m bm表征：
H ( e j w ) = Y ( e j w ) X ( e j w ) = ∑ m = 0 M b m e − j w m 1 + ∑ k = 1 N a k e − j w k H(e^{jw}) = \frac{Y(e^{jw})}{X(e^{jw})} =\frac{\sum_{m=0}^M{b_me^{-jwm}}}{1+\sum_{k=1}^N{a_ke^{-jwk}}} H(ejw)=X(ejw)Y(ejw)=1+∑k=1Nake−jwk∑m=0Mbme−jwm
当起始状态为零时，LSI系统的频率响应时由系统本身的冲激响应h(n)或各系数 a k a_k ak、 b m b_m bm决定的，与输入输出无关。
其中 e j w n e^{jwn} ejwn称为LSI系统的特征函数，而把 H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw)称为特征值。
H ( e j w ) = ∣ H ( e j w ) ∣ e j a r g [ H ( e j w ) ] = R e [ H ( e j w ) ] + j I m [ H ( e j w ) ] H(e^{jw}) = |H(e^{jw})|e^{jarg[H(e^{jw})]} = Re[H(e^{jw})] +jIm[H(e^{jw})] H(ejw)=∣H(ejw)∣ejarg[H(ejw)]=Re[H(ejw)]+jIm[H(ejw)]
1、 ∣ H ( e j w ) ∣ |H(e^{jw})| ∣H(ejw)∣表示幅度特性（幅频特性），是系统对输入序列 e j w n e^{jwn} ejwn的增益。
2、 a r g [ H ( e j w ) ] arg[H(e^{jw})] arg[H(ejw)]表示相位特性（相频特性），是系统对输入序列 e j w n e^{jwn} ejwn的相角改变量。
3、 R e [ H ( e j w ) ] Re[H(e^{jw})] Re[H(ejw)]和 I m [ H ( e j w ) ] Im[H(e^{jw})] Im[H(ejw)]用来表示频率响应 H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw)的实部与虚部。可以用来观察零极点的分布。
3.3 IIR系统与FIR系统
1、从系统的单位抽样响应h(n)来看，由于设计的方法不同，故划分为两种系统：
(1) 无限长单位抽样响应（IIR）系统：冲激响应无限长。
(2) 有限长单位抽样响应（FIR）系统：冲激响应有限长。
2、从系统函数H(z)的零点、极点来看。
(1) 全零点（MA）系统（滑动平均系统），在z平面中没有极点（全部极点在z=0处），只有零点。
(2) 全极点（AR）系统（自回归系统），在z平面中没有零点，只有极点。
(3) 零极点系统（ARMA）系统（自回归滑动平均），在z平面中既有零点，也有极点。
3、从结构类型来看，可以由差分方程看出，
(1) 递归型结构，IIR系统
(2) 非递归型结构，FIR系统输出只和输入有关，只有零点，没有极点。
FIR系统用零点极点抵消的办法，则也可以采用含有递归结构的系统。
四、离散时间系统的状态空间
4.1 状态定义
状态系统在任何时间 t ≥ t 0 t \geq t_0 t≥t0的行为
状态变量是确定状态系统的最小一组变量，用来完全描述动态系统的行为。即一旦给出 t ≥ t 0 t \geq t_0 t≥t0的输出量和 t = t 0 t = t_0 t=t0的初始状态，根据这些状态变量，就可以完全确定系统的未来状态。
状态向量如果完全描述一个给定系统的行为需要n个状态变量，n个状态变量都可以看做状态向量的n个分量。
状态空间设 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn为状态变量，那么由 x 1 x_1 x1轴, x 2 x_2 x2轴,…, x n x_n xn轴所组成的n为空间称为状态空间。任何状态都可以状态空间中的一点来表示。
4.2 状态方程的建立
1、在状态空间分析中使用三种类型的变量，它们是输入变量、状态变量和输出变量。
2、对于给定的系统，其状态空间的表达式不上唯一的，但是其状态变量的数量是相同的。
3、动态系统必定包含记忆元件，它在 t ≥ t 1 t\geq t_1 t≥t1时能够记忆输入量的值。积分器可以作为记忆装置，积分器的输出量可以作为系统的状态变量，能够完全描述系统的动态特性。积分器的数目和状态变量的数目相同。
在系统中包含n个积分器，积分器的n个输出量为状态变量 x 1 ( t ) , x t ( t ) , . . . , x n ( t ) x_1(t),x_t(t),...,x_n(t) x1(t),xt(t),...,xn(t)。
状态变量： x ( t ) = [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) . . . x n ( t ) ] \mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix} x_1(t)\\x_2(t) \\.\\.\\.\\x_n(t) \end{bmatrix} x(t)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1(t)x2(t)...xn(t)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ 输入变量： u ( t ) = [ u 1 ( t ) u 2 ( t ) . . . u n ( t ) ] \mathbf{u}(t)=\begin{bmatrix} u_1(t)\\u_2(t)\\.\\.\\.\\u_n(t) \end{bmatrix} u(t)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡u1(t)u2(t)...un(t)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ 输出变量： y ( t ) = [ y 1 ( t ) y 2 ( t ) . . . y n ( t ) ] \mathbf{y}(t)=\begin{bmatrix} y_1(t)\\y_2(t)\\.\\.\\.\\y_n(t) \end{bmatrix} y(t)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡y1(t)y2(t)...yn(t)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
得到状态方程：
x ˙ ( t ) = f ( x , u , t ) = [ f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; u 1 , u 2 , . . . , u r ; t ) f 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; u 1 , u 2 , . . . , u r ; t ) . . . f n ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; u 1 , u 2 , . . . , u r ; t ) ] \dot{\mathbf{x}}(t) =\mathbf{f(x,u,t)} =\begin{bmatrix} f_1(x_1,x_2,...,x_n;u_1,u_2,...,u_r;t)\\ f_2(x_1,x_2,...,x_n;u_1,u_2,...,u_r;t)\\ .\\.\\.\\ f_n(x_1,x_2,...,x_n;u_1,u_2,...,u_r;t) \end{bmatrix} x˙(t)=f(x,u,t)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡f1(x1,x2,...,xn;u1,u2,...,ur;t)f2(x1,x2,...,xn;u1,u2,...,ur;t)...fn(x1,x2,...,xn;u1,u2,...,ur;t)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
得到输出方程：
y ( t ) = g ( x , u , t ) = [ g 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; u 1 , u 2 , . . . , u r ; t ) g 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; u 1 , u 2 , . . . , u r ; t ) . . . g n ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; u 1 , u 2 , . . . , u r ; t ) ] \mathbf{y}(t) =\mathbf{g(x,u,t)} =\begin{bmatrix} g_1(x_1,x_2,...,x_n;u_1,u_2,...,u_r;t)\\ g_2(x_1,x_2,...,x_n;u_1,u_2,...,u_r;t)\\ .\\.\\.\\ g_n(x_1,x_2,...,x_n;u_1,u_2,...,u_r;t) \end{bmatrix} y(t)=g(x,u,t)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡g1(x1,x2,...,xn;u1,u2,...,ur;t)g2(x1,x2,...,xn;u1,u2,...,ur;t)...gn(x1,x2,...,xn;u1,u2,...,ur;t)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
将其线性化：
状态方程： x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
输出方程： y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) \mathbf{y}(t)=\mathbf{C}(t)\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}(t)\mathbf{u}(t) y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)
A ( t ) \mathbf{A}(t) A(t)为状态矩阵， B ( t ) \mathbf{B}(t) B(t)为输入矩阵， C ( t ) \mathbf{C}(t) C(t)为输出矩阵， D ( t ) \mathbf{D}(t) D(t)为直接输出矩阵。
如果系统为时不变系统，那么 f 和 g \mathbf{f和g} f和g不含时间t，则称系统为定常系统，那么 A , B , C , D \mathbf{A,B,C,D} A,B,C,D为常数，系统简化为：
状态方程： x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t) x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)
输出方程： y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) \mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}\mathbf{u}(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)
4.3 状态方程的求解
状态方程的求解包括时域和变换域两种方法，对于连续系统则通过拉普拉斯变换，对于离散系统则通过z变换。
对于连续系统，则通过拉普拉斯变换，得到：
状态方程： s X ( s ) − x ( 0 ) = A X ( s ) + B U ( s ) s\mathbf{X}(s)-\mathbf{x}(0)=\mathbf{A}\mathbf{X}(s)+\mathbf{B}\mathbf{U}(s) sX(s)−x(0)=AX(s)+BU(s)
输出方程： Y ( s ) = C X ( s ) + D U ( s ) \mathbf{Y}(s)=\mathbf{CX}(s)+\mathbf{DU}(s) Y(s)=CX(s)+DU(s)
对于离散系统，则通过z变换，得到：
状态方程： z X ( z ) − x ( 0 ) = A X ( z ) + B U ( z ) z\mathbf{X}(z)-\mathbf{x}(0)=\mathbf{A}\mathbf{X}(z)+\mathbf{B}\mathbf{U}(z) zX(z)−x(0)=AX(z)+BU(z)
输出方程： Y ( z ) = C X ( z ) + D U ( z ) \mathbf{Y}(z)=\mathbf{CX}(z)+\mathbf{DU}(z) Y(z)=CX(z)+DU(z)
推导过程省略，得系统的转移函数（系统函数）：
H ( z ) = C ( z I − A ) − 1 B + D H(z)=\mathbf{C}(z\mathbf{I-A})^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D} H(z)=C(zI−A)−1B+D
4.4 状态矢量的线性变换
对同一系统而言，一各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。
$\mathbf{\hat{A}} = \mathbf{PAP^{-1}} $
B ^ = P B \mathbf{\hat{B}} = \mathbf{PB} B^=PB
C ^ = C P − 1 \mathbf{\hat{C}} = \mathbf{CP^{-1}} C^=CP−1
D ^ = D \mathbf{\hat{D}} = \mathbf{D} D^=D
P \mathbf{P} P 为新状态方程的变换矩阵，具体变换过程请查询相关书籍。
五、系统分析
5.1 稳定性
5.1.1 稳定条件
任何系统只要满足有界输入产生有界输出（BIBO）条件，就是稳定系统，即
∣ x ( n ) ∣ ≤ M < ∞ |x(n)| \leq M < \infty ∣x(n)∣≤M<∞
∣ y ( n ) ∣ ≤ P < ∞ |y(n)| \leq P < \infty ∣y(n)∣≤P<∞
LSI系统稳定的充要条件是其单位抽样相应h(n)决对可和，即
∑ n = − ∞ ∞ h ( n ) = P < ∞ \sum^{\infty}_{n=-\infty}{h(n)} = P < \infty n=−∞∑∞h(n)=P<∞
5.1.2 根轨迹
其他篇章介绍
5.1.3 奈奎斯特稳定性判据
其他篇章介绍
5.1 可控制性
控制作用是否必然可使系统在有限时间内，从起始状态指引到所要求状态，这就是可控性问题。
所谓可控性被定义为：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量(即控制矢量)，在有限时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态），如果可以做到这一点，则称系统实施完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则称系统是不完全可控制的。
可控判别矩阵（可控阵）：
M = [ B , A B , A 2 B , . . . , A k − 1 B ] \mathbf{M}=[\mathbf{B},\mathbf{AB},\mathbf{A^2B},...,\mathbf{A}^{k-1}\mathbf{B}] M=[B,AB,A2B,...,Ak−1B]
其中 A \mathbf{A} A为状态矩阵， B \mathbf{B} B为输入矩阵，如果矩阵 M \mathbf{M} M满秩（即矩阵的每一行都非零），则系统完全可控。
5.2 可观测性
是否可以做到，通过观测有限时间内的输出量，而识别出系统的起始状态。因为一旦能够根据输出量识别出起始状态，则任一状态也就唯一确定。
系统的可观性定义为：如果系统用状态方程来描述时，在给定控制后，能在有限时间间隔内（ 0 < t < t 1 0<t<t_1 0<t<t1）根据系统输出唯一地确定系统的所有起始状态，则称系统完全可观；若只能确定部分起始状态，则称系统不完全可观。
可观性判别矩阵（可观阵）：
N = [ C C A . . . C A k − 1 ] \mathbf{N}=\begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{CA} \\ .\\.\\.\\ \mathbf{CA^{k-1}} \end{bmatrix} N=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡CCA...CAk−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
其中 A \mathbf{A} A为状态矩阵， C \mathbf{C} C为输出矩阵。如果矩阵 N \mathbf{N} N满秩（即矩阵的每一行都非零），则系统完全可观。
六、参考文献
1、《经典版 数字信号处理教程 第四版》，程佩青编著，清华大学出版社。
2、《信号与系统 第三版》上下册，郑君里、应启珩、杨为理编著，高等教育出版社。
