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已知函数?.(Ⅰ)若直线l与曲线y=f(x)相切 切点是P(2 0) 求直线l的方程;(Ⅱ

时间:2019-11-09 02:59:21

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已知函数?.(Ⅰ)若直线l与曲线y=f(x)相切 切点是P(2 0) 求直线l的方程;(Ⅱ

问题补充:

已知函数?.

(Ⅰ)若直线l与曲线y=f(x)相切,切点是P(2,0),求直线l的方程;

(Ⅱ)讨论f(x)的单调性.

答案:

解:(I)因为切点是P(2,0),

∴,∴a=0,

∴函数f(x)=,又f′(x)=x-1,

所以切线的斜率为:f′(2)=1.所以切线l的方程为y=x-2.函数?.

(II)由题意得,f′(x)=-(1+a)+x=(x>0)由f′(x)=0,得x1=1,x2=a①当0<a<1时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<a或x>1;令f′(x)<0,x>0,可得a<x<1,∴函数f(x)的单调增区间是(0,a)和(1,+∞),单调减区间是(a,1);②当a=1时,f′(x)=≥0,当且仅当x=1时,f′(x)=0,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数;③当a>1时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<1或x>a;令f′(x)<0,x>0,可得1<x<a∴函数f(x)的单调增区间是(0,1)和(a,+∞),单调减区间是(1,a).

解析分析:(I)先由切点是P(2,0),代入函数解析式求出a,再求导函数,确定切线的斜率,从而可求曲线y=f(x)在x=2处切线的方程;(II)求导函数,求出函数的零点,再进行分类讨论,从而可确定函数y=f(x)的单调性与单调区间.

点评:本题重点考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,利用导数的正负确定函数的单调性是关键.

已知函数?.(Ⅰ)若直线l与曲线y=f(x)相切 切点是P(2 0) 求直线l的方程;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性.

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